第2章 平稳随机过程汇总.doc

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1、第2章平稳随机过程2．1　平稳随机过程的基本概念引言“平稳”的中文含意：平坦、稳定。不大起大落。随机过程，当变化时，得一系列随机变量：，，……。具有“平稳”性，是指的变化稳定，不“大起大落”，各具有相同的分布规律、或具有相同的数字特征、或具有相同的概率密度。在统计学中，，，……往往假设满足“独立同分布”（）。“独立”性不太容易满足，“同分布”就包含了“平稳性”。2．1．1　严平稳过程及其数字特征一、定义随机过程的维概率密度（或维分布函数）不随时间起点选择不同而改变。即：对任何和，过程的概率密度满足：则称为严平稳过程。二、严平稳过程的一、二维概率密度结论：

2、严平稳过程的一维概率密度与时间无关；严平稳过程的二维概率密度只与、时间间隔有关。证明：当＝1时，对任何，有。取，则有。当＝2时，对任何，有。取，，则。三、严平稳过程的数字特征（1）若是严平稳过程，则它的均值、均方值、方差皆为与时间无关的常数。证明：（2）若是严平稳过程，则它的自相关函数只是间间隔的单变量的函数。证明：＝2．1．2　宽平稳过程　引言：要证明一个过程是来平稳过程往往较困难。在理论和应用中，只须研究随机过程的期望、方差和相关函数、功率谱密度等。所以，严平稳过程的要求可适当放宽。一、定义若随机过程的数学期望为一常数，其自相关函数只与时间间隔有关，

3、且它的均方值有限，即：则称为宽平稳过程（或广义平稳过程）。二、举例：例1　设随机过程，与为常数，为在上均匀分布的随机变量，证明是平稳过程。证明：＝＝＝＝可见，是宽平稳过程。例2，设，，式中是随机变量，讨论、的平稳性。解：是平稳过程，因为：不是平稳过程，因为：例3　设随机过程，是在上均匀分布的随机变量，只能取整数，证明是平稳过程。证明：＝＝＝0＝＝2．2　遍历性过程引言：在实用中，如何求的数字特征？以为自变量，是一曲线族。对的测量（考查）时，严格意义上讲，无法同时得到多条曲线。问题：只获得一条曲线时，能否准确得到的数字特征？2..2.1　遍历性过程定义一、

4、随机过程的时间均值、时间自相关函数的含义是：当固定时，是随机变量的均值。当变动时，相对于时间的均值如何求？在时间，以为时间间隔，等间距的抽取个点（），得，，……，其平均值为在随机过程沿整个时间轴的两种时间平均分别称为时间均值和时间自相关函数。与都是随机变量。一、遍历性过程定义设是平稳过程，若满足：（1）以概率1成立，则称的均值具有各态遍历性。（2）以概率1成立，则称的自相关函数具有各态遍历性。（3）当时，以概率1成立，则称的均方值具有各态遍历性。如果的时间均值、时间自相关函数、时间均方值都具有遍历性，则称是遍历过程。2..2.2　计算举例例4　设随机过程

5、，与为常数，为在上均匀分布的随机变量，讨论的遍历性。解：是遍历过程，因为：　　　　　　＝例5　，是随机变量，讨论的遍历性。解，不是遍历过程，因为：　，而是随机变量，所以。原因分析：的取值与时间无关，当时间变动时，可能取某个随机值而变动。2..2.3、随机过程具备遍历性的条件一、遍历过程必须是平稳的。（平稳过程不一定是遍历的）。二、平稳过程的均值具备遍历性的充要条件是：一、平稳过程的自相关函数具备遍历性的充要条件是：式中　二、对于正态平稳过程，若均值为0，自相关函数连续，此过程具备遍历性的一个充要条件是：。2．3　随机过程统计特征的实验研究方法引言：遍历过

6、程的有一个很实际的意义：用时间均值来代替随机变量的均值，即用一个历程（一次样本函数）来获取数学期望、自相关、均方值等数字特征。在具体的工程应用中，需要等间距离散采样，获取的是离散随机数据，具体如下：以单位时间为时间间隔，等间距的抽取个点，得个随机变量，，……，或记为，，……。在工程应用中，得到的是一组样本值，，…,.利用，，…,来计算随机过程的统计特征，是工程中常用的方法。2.3.1、均值估计具有遍历性，，用时间均值来估计：是的无偏估计，也是极大似然估计。2.3.2、方差估计具有遍历性，已知方差的估计为：此估计是极大似然估计，是无偏估计。未知，方差的估计

7、为：此估计是渐近无偏估计。2.3.2、自相关估计按定义，。是的渐近无偏估计。2.4平稳过程相关函数的性质2.4.1平稳过程自相关函数的性质1．　2．，自相关函数是偶函数。，自协方差函数是偶函数。证明：3．，即自相关函数在时具有最大值。同样，即自协方差也在时具有最大值。证明：4．若随机过程满足，称是周期平稳过程，其中为过程的周期。周期过程的自相关函数必为周期函数，且与周期过程的周期相同。证明：5．若含有一个周期分量，则也含有一个相同的周期分量。设，为周期分量，，与相互独立。是周期分量。6．若平稳过程中不含有任何周期分量，则有，证明：当增大时，与的相关性会减

8、弱，当时，有与相互独立，7．证明：8.平稳过程的自相关函数必须满足2.4.2相关