随机过程ch6-平稳随机过程

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1、第六章平稳随机过程2012/11/161内容平稳过程的概念与例子联合平稳过程及相关函数的性质随机分析平稳过程的各态历经性2012/11/1626.1平稳过程的概念与例子一、平稳过程的定义1.平稳过程定义设Xt,tT是随机过程，若R和正整数n当tt1,,n，tt1,,n时，((),(),Xt12Xt,())Xtn与((Xt12),(Xt),,(Xtn))有相同的联合分布，则称Xt,tT为严平稳过程，也称狭义平稳过程。2012/11/163

2、严平稳过程所描述的物理系统，其概率特征不随时间的推移而改变，特别地，对任意tT，X(t)的概率分布相同。一般说来，严格用定义来判断某个随机过程的严平稳性是很困难的，但是若产生随机过程的主要物理条件在时间进程中不改变，则此过程就可以认为是严平稳的随机过程。若T为离散集，则称平稳过程Xt,tT为平稳序列。由于严平稳过程的统计特征是由有限维分布函数来决定的，在应用中比较难以确定，因此，在工程实际中，通常只在相关理论的范围内考虑平稳过程问题。2012/11/164所谓相关理论是指：只限于研究随

3、机过程一、二阶的理论，即主要研究随机过程的均值函数，相关函数，功率谱密度等理论。由于有些随机过程的概率特征主要由它的一阶矩和二阶矩函数决定。我们给出了在应用和理论上更为重要的另一种平稳过程的概念。定义设Xt,tT是随机过程，如果（1）Xt,tT是二阶矩过程；（2）对于任意tΤ,mΧtΕΧt常数；（3）对任意的s,t,Rs,tRts，则称Xt,tT为广义平稳过程，简称为(宽)平稳过程。2012/11/1652、例题例6.1设{Xnn

4、,0,1,2,}是实的互不相关随机变量序列，且2EX()0,(DX)。nn试讨论随机序列的平稳性。例6.2设{,Znn0,1,2,}为复随机序列，且22EZ()0,(EZZ)，nn,(n0,1,2,)为实数序nnmnnmnitn列。令Xt()Zenn则Xt()为平稳过程。2012/11/166例设X(t)=Ycos(t)+Zsin(t),t>0，且Y,Z相互独立，EY=EZ=0，DY=DZ=2，试讨论随机过程{X(t),t>0

5、}的平稳性。解m(t)EX(t)E[Ycos(t)Zsin(t)]Xcos(t)EYsin(t)EZ0R(s,t)E[X(s)X(t)]XE[(Ycos(s)Zsin(s))(Ycos(t)Zsin(t))]2012/11/1672E[cos(s)cos(t)Ysin(st)YZ2sin(s)sin(t)Z]2cos(s)cos(t)E(Y)sin(st)E(YZ)2sin(s)sin(t)E(Z)cos(s)cos(t

6、)DYsin(st)EYEZsin(s)sin(t)DZ22cos(s)cos(t)sin(s)sin(t)2cos[(ts)]所以{X(t)，tT}为宽平稳过程。2012/11/1686.2联合平稳过程及相关函数的性质一、联合平稳过程定义设{(),XttT}和{(),YttT}是两个平稳过程，若它们的互相关函数EXtYt[()()]及EYtXt[()()]仅与有关，而与t无关，则称Xt()和Yt()是联合平稳随机过程。R(t,t)E[X(

7、t)Y(t)]R()XYXYR(t,t)E[Y(t)X(t)]R()YXYX当两个平稳过程，是联合平稳时，则它们的和是平稳过程，此时有E[W(t)W(t)]R()R()R()R()R()XYXYYXW2012/11/169二、相关函数的性质定理6.1设{(),XttT}为平稳过程，则其相关函数具下列性质:R()R(0);(1)RX(0)0;(2)RX()RX();(3)XX(4)RX()是非负定的，即对任意实数tt12,,,tn及n复

8、数RX(ti,tj)aiaj0aa12,,,an，有i,j1(5)若Xt()是周期为T的周期函数，即Xt()XtT()，则RX()RX(t)；(6)若Xt()是不含周期分量的非周期过程，当limR()mm时，Xt()与Xt()相互独立，则XXX2012/11/1610类似地，联合平稳过程X(t)和Y(t)的互相关函数有以下性质：22（1）R()R(0)R(0),R()R(0)R(0);XYXYXYXY（2）RR()()XYYX例