2平稳随机过程.ppt

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1、一、定义回顾1.严、宽平稳随机过程(后者为主)数字特征。（二阶矩条件，x，Rx()，Rx(m)）平稳随机过程例1.设状态连续、时间离散的随机过程，其中是随机变量。讨论序列的平稳性。解.首先验证是否为二阶矩过程。然后考虑只依赖于m，所以是平稳序列。例2.设随机过程，其中Y是非零随机变量，讨论过程的平稳性。解.1）首先验证是否为二阶矩过程。2）然后考虑期望、相关函数。E(X)是否与t有关？取决于E(Y)是否为零。不依赖于t？依赖与Y的方差是否为零。与题设矛盾，故非平稳。二、自相关函数的性质（平稳）性质1.Rx(0)0；证:Rx(0)=E[X2(t)]0性质2.Rx()

2、为偶函数，即Rx(-)=Rx()证：Rx(-)=E[X(t)X(t-)]=E[X(t-)X(t)]=Rx()性质3.

3、Rx()

4、Rx(0)证：由柯西-施瓦兹不等式性质4.非负定性.即对任意n,任意实数a1,a2,…,an,任意t1,t2,…,tn∈T有性质5.周期性.若平稳过程X(t)满足X(t)=X(t+k)，则称它为周期过程，周期为k。周期平稳过程的自相关函数必是以k为周期的函数。性质6.复平稳过程（略）。三、联合平稳过程的平稳相关、互相关函数（1）定义:设{X(t)},{Y(t)},tT为两个平稳过程，如果它们的互相关函数RXY(t,t+)只是的

5、函数,即RXY(t,t+)=E[X(t)Y(t+)]=RXY(),则称{X(t)},{Y(t)}是平稳相关的，或称{X(t)}与{Y(t)}是联合平稳过程.并称RXY()=E[X(t)Y(t+)]为{X(t)}与{Y(t)}的互相关函数。(2)互相关函数的性质自相关函数是奇函数，还是偶函数？互相关函数的简单性质证明：由性质1，2可得。例1:如图所示，将两个平稳过程X(t)，Y(t)同时输入加法器中,加法器输出随机过程W(t)=X(t)+Y(t),若X(t)与Y(t)平稳相关，则W(t)为平稳过程x(t)w(t)y(t)E[W(t)W(t+)]=E{[X(t)+Y

6、(t)][X(t+)+Y(t+)]}=E[X(t)X(t+)]+E[X(t)Y(t+)]+E[Y(t)X(t+)]+E[Y(t)Y(t+)]=Rx()+RxY()+RxY(-)+RY()可见W(t)的自相关函数Rw(t,t+)只依赖于,所以w(t)为平稳过程.例2:设X(t)=Asin(t+Θ)，Y(t)=Bsin(t+Θ-),A,B,,为常数，Θ在(0,2)上服从均匀分布，证明:{X(t)},{Y(t)}是平稳相关的，并求RXY()。解:1.首先验证X(t),Y(t)均为平稳过程.2.考虑相关函数所以，X(t),Y(t)为联合平稳

7、的。同样的方法可算得1.均方收敛的定义：设有｛Xn,n=1,2,…｝和随机变量X,满足E(

8、Xn

9、2)<+,E(

10、X

11、2)<+,若有则称｛Xn｝均方收敛于X,记作随机分析一、均方收敛及均方连续2．均方极限的性质证明：证明（2）：证明（3）：3．均方极限与期望的关系证明：(1)由柯西-施瓦兹不等式由柯西-施瓦兹不等式4．均方收敛准则均方收敛的准则（证明）可得。中由(3)3)2()1(Þ均方收敛的准则（证明续）从而该序列依概率相互收敛，故存在子序列几乎处处收敛到X，由Fatou-Lebesgue定理，5．均方连续设{X(t),tT}是随机过程,若对某t0T,有称{X(t

12、),tT}在t0均方连续，若对任意tT，{X(t),tT}均方连续，称{X(t),tT}在T上均方连续。记为5.1.均方连续与均值函数的关系设{X(t),tT}是T上均方连续随机过程,若对某tT,记均值函数为，则证：由柯西-施瓦兹不等式，当h0时，

13、

14、5.2.均方连续与自相关函数的关系定理.随机过程{X(t),tT}在tT处均方连续的充要条件是其相关函数在(t,t)点连续。证明：先证明充分性。即证明(均方连续准则)必要性：即证相关函数的连续性。已知由均方收敛与期望的关系可知证明：由定理知，对于任意的t，{X(t)}在t处均方连续。推论.若在一切(t,t)点

15、连续，则在一切(s,t)点连续。5.3.平稳过程均方连续性与其自相关函数的关系定理设平稳过程{X(t),tT}的自相关函数为Rx(),则下列条件等价：①{X(t),tT}在T上均方连续；②{X(t),tT}在t=0均方连续；③Rx()在=0连续；④Rx()在T上连续。证明：①②，显然；②③：当h0时，③④：当h0时，④①：当h0时定义：设为随机过程，对任意若存在随机变量使得6．随机过程的均方导数则称在t处均方可导。记为称X为在t处的均方导数。若在每一点都是均方可导的，则称它在T上均方可