严平稳随机过程一定是宽平稳随机过程

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1、第三章随机信号分析孙恩昌北京工业大学电控学院3.1引言为什么研究随机过程？在通信系统的研究中，输入信号、干扰、噪声等都不是确定信号，而是随机信号。但这些随机信号又具有一定的统计规律性。随机过程是随机信号的数学模型，研究它的理论就是研究随机信号的数学工具2北京工业大学电控学院随机过程的概念无论信号还是噪声，两者都是随机的。它们不能表示成一个确定的时间函数。随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数进行描述。设有无数台性能相同的接收机，在同样条件下测其输出噪声,可得图示波形,每条曲线都是一个随机起伏的时间函数,称为随机函数。每一个随机函数称为一次实现或样本函数，全部样

2、本函数构成的总体称为随机过程。在t1时刻，输出噪声值是一个随机量。在t2时刻，输出噪声是另一个随机量。时间不同，随机量也不相同，即随机量是一个变量，称为随机变量，它是时间的函数。，3北京工业大学电控学院随机过程的含义有两点：首先它是一个时间函数；其次每个时刻上的函数值是随机的，按照一定的概率分布。如果时间是离散的，则称为随机序列。例如计算机产生的信号则是随机序列，而通信中的热噪声是随机过程。随机过程的概念4北京工业大学电控学院3.1引言随机过程定义5北京工业大学电控学院3.1引言随机过程的两个含义在某一个确定的时刻，随机过程表现为一个随机变量，随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻

3、的随机变量的集合。随机过程X(t)的一个具体取值形成一个样本函数，用x(t)表示，即随机过程是所有样本函数的集合6北京工业大学电控学院3.1引言研究什么？随机过程的各种统计特性随机过程通过线性系统7北京工业大学电控学院3.2随机过程的统计特性随机过程的一维分布函数和概率密度、n维分布函数和概率密度。n越大对其统计特性的描述越充分8北京工业大学电控学院3.2随机过程的统计特性随机过程的数字特征9北京工业大学电控学院3.2随机过程的统计特性随机过程的数字特征10北京工业大学电控学院3.2随机过程的统计特性两随机过程X(t),Y(t)的n+m维联合分布函数和概率密度11北京工业大学电控学

4、院3.2随机过程的统计特性两随机过程X(t),Y(t)相互独立的充分必要条件（满足任何一个即可）12北京工业大学电控学院3.2随机过程的统计特性两随机过程的数字特征（互相关函数和互协方差函数）13北京工业大学电控学院3.2随机过程的统计特性不相关与独立两随机过程相互独立，则必定不相关；若不相关，则不一定独立对于正态（高斯）随机过程，不相关与独立是等价的14北京工业大学电控学院3.3平稳随机过程严平稳（狭义平稳）随机过程：任意有限维分布函数与时间起点无关平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变15北京工业大学电控学院3.3平稳随机过程严平稳随机过程的数字特征16北京工业大学电控学院

5、3.3平稳随机过程宽平稳（广义平稳）随机过程满足以下条件的随机过程即为宽平稳注意：由这两个条件即可得到与严平稳随机过程相同的四个数字特征性质，即也有17北京工业大学电控学院3.3平稳随机过程严平稳与宽平稳的关系宽平稳随机过程不一定满足以下条件严平稳随机过程一定是宽平稳随机过程；但宽平稳随机过程不一定是严平稳随机过程对正态（高斯）随机过程而言，宽平稳和严平稳等价若不加特别说明，平稳过程都是指宽平稳随机过程18北京工业大学电控学院3.3平稳随机过程联合宽平稳随机过程19北京工业大学电控学院3.3平稳随机过程平稳随机过程相关函数的性质20北京工业大学电控学院3.3平稳随机过程遍历性（均值

6、遍历过程）21北京工业大学电控学院3.3平稳随机过程遍历性（自相关遍历过程）22北京工业大学电控学院3.3平稳随机过程遍历性含义平稳过程的统计平均值等于它的任一次实现的时间平均值，可用时间平均代替统计平均随机过程的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态23北京工业大学电控学院3.3平稳随机过程遍历性（宽遍历与严遍历）若X(t)是均值遍历和自相关遍历的，则称其为宽遍历过程若X(t)的所有统计平均特性和其样本函数所有相应的时间平均特性以概率为1相等，则称其为严遍历过程或狭义遍历过程如不加特别说明，遍历过程均指宽遍历过程24北京工业大学电控学院3.3平稳随机过程遍历性（遍历与平稳）遍历

7、过程必是平稳过程；但平稳过程不一定是遍历过程对遍历过程，得到一个样函数，就可得到其数字特征25北京工业大学电控学院3.3平稳随机过程平稳随机过程的功率谱密度26北京工业大学电控学院3.3平稳随机过程维纳-辛钦定理平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度互为傅立叶变换，即证明目标是27北京工业大学电控学院3.3平稳随机过程维纳-辛钦定理（证明）28北京工业大学电控学院3.3平稳随机过程维纳-辛钦定理（证明）下一步证明思路是变换积分次序29北京工业大学电控学院3.3平稳随机过