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时间:2020-09-04
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1、通项、求和公式中涉及五个量(a1、d、an、n、Sn)通过解方程“知三可以求二”,事实上很多问题通过转化为a1、d便迎刃而解。a1、d是等差数列的两个基本量。例1:在等差数列{an}中,ap=q,aq=p,求a(p+q)?解:依题意得:a1+(p-1)d=qd=-1a1+(q-1)d=p∴a1=p+q-1∴a(p+q)=03.交汇函数,认清本质(1)an=f(n)=pn+q图象是直线上的离散点集,两条件(如a5,a10)等差数列即可确定。(2)Sn=dn2/2+(a1-d/2)n的图象(d≠0时)是过原点的抛物线上的离散点集,由于过(0,0),只要给出两个条件(如S5、,
2、S10)就可确定等差数列。例2:等差数列{an}中,3a5=7a10且a1<0,则前n项和Sn最小的是()?(A)S7或S8(B)S13(C)S12(D)S15解:3(a1+4d)=7(an+9d)∴d=(-4a1)/51>0Sn=(-2a1)n2/51+(53a1n)/51对称轴=53/4=13.25∵
3、13-13.25
4、<
5、14-13.25
6、∴S13最小4.技巧方法,广泛迁移优良的思维品质表现为能用最明确最简单的方式,了解和解决问题。首先,减少运算量,掌握下列公式十分有益:(1)an=am+(n-m)d(2)若m+n=p+q则an+am=ap+aq(3)2am=a1+
7、a2m-1(4)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列例3:{an}是等差数列,S11=33,则a6=?若a6=3,则S11=?解:S11=3311(a11+a1)/2=33a11+a1=62a6=6a6=3此外,还有思想方法的迁移,在公式的推导过程中隐含着下列思维方法:累差法倒序相加法迭代法a2-a1=da3-a2=d……+)an-an-1=dan-a1=(n-1)dSn=a1+a2+…+an-1+anSn=an+an-1+…+a2+a12Sn=n〔(a1+an)+…+(an+a1)〕Sn=n(a1+an)/2an=an-1+d=an-2+2d=an-3+3d……
8、=a1+(n-1)d例4:已知数列{an}的首项a1=0,an+1=an+(2n+1)求{an}的通项公式。解:∵a2-a1=2×1+1=3,a3-a2=2×2+1=5,a4-a3=2×3+1=7,…,an-an-1=2×(n-1)+1=2n-1∴an-a1=n2-1又∵a1=0∴an=n2-1此数列虽不是等差数列,但相邻两项的差却是等差数列(奇数列),类比等差数列求和时使用的累差法便可求出通项公式。等差数列通项公式 an=a1+(n-1)d an=Sn-S(n-1)(n≥2) an=kn+b(k,b为常数)前n项和 倒序相加法推导前n项和公式: Sn=a1+a
9、2+a3······+an =a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]① Sn=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]② 由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)(n个)=n(a1+an) 固Sn=n(a1+an)/2 等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半: Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2 Sn=(d/2)*n^2+(a1-d/2)n性质 且任意两项am,an的关系为: an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项
10、公式。 从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出: a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n} 若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有 am+an=ap+aq S2n-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…成等差数列,等等。 和=(首项+末项)×项数÷2 项数=(末项-首项)÷公差+1 首项=2和÷项数-末项 末项=2和÷项数-首项 设a1,a2,a3为等差数列。则a2为等差中项,则2倍的a2等于a1+a3
11、,即2a2=a1+a3。等比数列通项公式 an=a1q^(n-1) an=Sn-S(n-1)(n≥2)前n项和 当q≠1时,等比数列的前n项和的公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)(q≠1) 当q=1时,等比数列的前n项和的公式为 Sn=na1性质 任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m) (3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出:a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n} (4)等比中项:aq·
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