等差数列与等比数列教案 高考例题精析

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1、数列知识点1．数列（1）数列的一般形式：，，，……，，……，简记作。通项公式定义：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。说明：①表示数列，表示数列中的第项，=表示数列的通项公式；②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，==；③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……（2）数列的函数特征与图象表示：序号：123456项：456789上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质是特殊的

2、函数，是定义在正整数集（或它的有限子集｛1，2，3，…，n，…｝）上的函数f（n），当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值：f（1），f（2），f（3），…，f（n），…数列的图象是由一群孤立的点构成的。（3）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。2．等差数列（1）定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表

3、示。用递推公式表示为或。说明：等差数列定义an＋1－an＝d（常数）（nN），这是证明一数列是等差数列的依据，要防止仅由前若干项，如a3－a2＝a2－a1＝d（常数）就说｛an｝是等差数列这样的错误。（2）等差数列的通项公式：；可整理成an＝dn＋（a1－d），当d≠0时，an是关于n的一次函数，它的图象是一条直线上，那么n为正整数点的集合。说明：等差数列的单调性：为递增数列，为常数列，为递减数列。（3）等差中项的概念：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中，，成等差数列（4）等差数列的前和的求和公式：可

4、以整理成Sn＝n2＋，当d≠0时是n的一个常数项为0的二次函数。（5）等差数列判定方法：①定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列；②等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列。（6）等差数列性质：在等差数列中，对任意，，；在等差数列中，若，，，且，则。说明：设数列是等差数列，且公差为，（1）若项数为偶数，设共有项，则①-8-奇偶；②；（2）若项数为奇数，设共有项，则①偶奇；②。（3）仍成等差数列（7），时，有最大值；，时，有最小值；最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；②若已知，则最值时的值（）

5、可如下确定或3.等比数列：（1）定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示。（2）等比数列通项公式为：。说明：由等比数列的通项公式可知：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列（3）等比中项：如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。（4）等比数列前n项和公式：一般地，设等比数列的前n项和是，当时，或；当q=1时，（5）等比数列判定方法①定义法：对于数

6、列，若，则数列是等比数列；②等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。（6）等比数列性质①等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有；②对于等比数列，若，则；③若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列。注意：典例解析：等差数列例1．数列中，已知，（1）写出，，；（2）是否是数列中的项？若是，是第几项？解析：（1）∵，∴，，；（2）令，解方程得，-8-∵，∴，即为该数列的第15项。例2．（2001天津理）设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是

7、（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列答案：B；解法一：an=∴an=2n－1（n∈N）又an+1－an=2为常数，≠常数∴{an}是等差数列，但不是等比数列.解法二：如果一数列的和是一个没有常数项的关于n的二次函数，则数列必是等差数列。例3．（2006年全国卷I）设是公差为正数的等差数列，若，，则（）A．B．C．D．解析：，，将代入，得，从而。选B。例4．（1）（2005湖南16）已知数列为等差数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）

8、证明解析：（1）（I）解：设等差数列的公差为d。由即d=1。所以即（II）证明因为，所以例5．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A.13项B.12项C.11项D.10项（2）（2001全国理）设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A.1B.2C.4D.6-8-（3）