高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 5.1等差数列与等比数列

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1、高考一轮复习热点难点精讲精析：5.1等差数列与等比数列一、数列的概念与简单表示法（一）由数列的前几项求数列的通项公式※相关链接※数列的通项公式（1）据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察观察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想。（2）观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数列、奇偶数列等）转换而使问题得到解决。（3）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着从特殊到一般的思想，由不

2、完全归纳提出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用或来调整。※例题解析※〖例〗写出下列各数列的一个通项公式：思路解析：由所给数列前几项的特点，归纳出其通项公式，注意项与项数的关系，项与前后项之间的关系，通项公式的形式并不唯一。解答：（1）各项是从4开始的偶数，所以；（2）每一项分子比分母少1，而分母可写成21，22，23，24，25，……，故所求数列的一个通项公式可定为；（3）带有正负号，故每项中必须含有一个这个因式，而后去掉负号，观察可得。将第二项-1写成。分母可化为3，5，7，9，11，13，……为正奇数，而分子可化为12+1，22+1，32+1，

3、42+1，52+1，62+1，……故其一个通项公式可写为：；（4）将数列各项写为分母都是3，而分子分别是10-1，102-1，103-1，104-1，……，所以（二）由递推公式求数列通项公式※相关链接※1、由和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用化归法、累加法、累乘法等。（1）构造等比数列，已知首项，递推关系为，求数列的通项公式的关键是将转化为的形式，其中a的值可由待定系数法确定，即（2）已知且可以用累加法，即，，……，，。所有等式左右两边分别相加，得即：（3）已知且可以用累乘法，即，，……，，，所有等式左右两边分别相乘，得注：并不是每一个数列都有通项公式，如果

4、一个数列有通项公式，那么它的通项公式在形式上也可以不止一个。2、由与的关系求由求时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为。※例题解析※〖例〗(1)在数列{an}中，a1=1，an+1=(1+)an+设求数列{bn}的通项公式;(2)已知数列{an}中，a1=1,an+1=(n+1)an，求数列{an}的通项公式．思路分析:(1)首先由递推公式得到的关系式：再借助于累加的方法求出数列{bn}的通项公式；(2)由题设可得利用累乘的方法求解.解析:(1)由已知可得b1=a1=1，且即从而有bn=b1+(b2-

5、b1)+…+(bn-bn-1)=(n≥2)，又因为b1=a1=1，故所求的通项公式为(2)∵an+1＝(n＋1)an，a1＝1.累乘可得，an＝n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1＝n！.故an＝n！.（三）数列的单调性及其应用〖例〗(12分)已知数列的前n项和为,并且满足（1）求{}的通项公式；（2）令，问是否存在正整数m,对一切正整数n，总有，若存在，求m的值；若不存在，说明理由。思路解析：（1）(2)由已知得的表达式求最大项得结论.解答:(1)令n=1,(2)注:(1)数列的单调性是高考常考内容之一,有关数列最大、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来

6、解决，判断单调性时常用①作差法，②作商法，③结合函数图象等方法。（2）求最大项，则满足；若求最小项，则满足。二、等差数列及其前n项和（一）等差数列的基本运算※相关链接※1.等差数列运算问题的通法等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程（组）求解.2.等差数列前n项和公式的应用方法等差数列前n项和公式有两个，如果已知项数n、首项a1和第n项an，则利用该公式经常和等差数列的性质结合应用.如果已知项数n、首项a1和公差d，则利用在求解等差数列的基本运算问题时，有时会和通项公式结合使用.注：1、等差数列的通项公式=+（n-1）d

7、及前n项和公式，共涉及五个量，，d,n,,知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题；2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。3、因为，故数列{}是等差数列。※例题解析※〖例〗已知数列{}的首项=3，通项，且，，成等差数列。求：（1）的值；（2）数列{}的前n项和的公式。思路解析：（1）由=3与，，成等差数列列出方程组即可求出；（2）通过利用条件分成两个可求和的数列分别求和。解答：（1）由=3得……………………………………①又，得…………………②由①