等差数列与等比数列高考精华.doc

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1、通项、求和公式中涉及五个量(a1、d、an、n、Sn)通过解方程“知三可以求二”，事实上很多问题通过转化为a1、d便迎刃而解。a1、d是等差数列的两个基本量。例1：在等差数列｛an｝中,ap＝q,aq＝p,求a（p+q）？解：依题意得：a1＋（p－1）d＝qd＝－1a1＋（q－1）d＝p∴a1＝p＋q－1∴a（p+q）＝03．交汇函数，认清本质（1）an＝f（n）＝pn＋q图象是直线上的离散点集，两条件（如a5，a10）等差数列即可确定。（2）Sn＝dn2／2＋（a1－d/2）n的图象(d≠0时)是过原点的抛物线上的离散点集，由于过（0，0），只要给出两个条件（如S5、，

2、S10）就可确定等差数列。例2：等差数列｛an｝中，3a5＝7a10且a1＜0，则前n项和Sn最小的是（）？（A）S7或S8（B）S13（C）S12（D）S15解：3（a1＋4d）＝7（an＋9d）∴d＝（-4a1）/51＞0Sn＝（-2a1）n2/51＋（53a1n）/51对称轴＝53/4＝13.25∵

3、13-13.25

4、＜

5、14-13.25

6、∴S13最小4．技巧方法，广泛迁移优良的思维品质表现为能用最明确最简单的方式，了解和解决问题。首先，减少运算量，掌握下列公式十分有益：（1）an＝am＋（n－m）d（2）若m＋n＝p＋q则an＋am＝ap＋aq（3）2am＝a1＋

7、a2m－1（4）Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列例3:｛an｝是等差数列，S11＝33，则a6＝？若a6＝3，则S11＝？解：S11＝3311（a11＋a1）／2＝33a11＋a1＝62a6＝6a6＝3此外，还有思想方法的迁移,在公式的推导过程中隐含着下列思维方法：累差法倒序相加法迭代法a2－a1＝da3－a2＝d……+）an－an-1＝dan－a1＝（n-1）dSn＝a1＋a2＋…＋an-1＋anSn＝an＋an-1＋…＋a2＋a12Sn＝n〔（a1＋an）＋…＋（an＋a1）〕Sn＝n（a1＋an）／2an＝an-1＋d＝an-2＋2d＝an-3＋3d……

8、＝a1＋（n-1）d例4：已知数列｛an｝的首项a1＝0，an+1＝an＋（2n+1）求｛an｝的通项公式。解：∵a2－a1＝2×1＋1＝3，a3－a2＝2×2＋1＝5，a4－a3＝2×3＋1＝7，…，an－an-1＝2×（n－1）＋1＝2n－1∴an－a1＝n2－1又∵a1＝0∴an＝n2－1此数列虽不是等差数列，但相邻两项的差却是等差数列（奇数列）,类比等差数列求和时使用的累差法便可求出通项公式。等差数列通项公式　　an=a1+(n-1)d　　an=Sn-S(n-1)(n≥2)　　an=kn+b(k,b为常数)前n项和　　倒序相加法推导前n项和公式：　　Sn=a1+a

9、2+a3······+an　　=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①　　Sn=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]②　　由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)（n个）=n(a1+an)　　固Sn=n(a1+an)/2　　等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：　　Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2　　Sn=(d/2)*n^2+(a1-d/2)n性质　　且任意两项am，an的关系为：　　an=am+(n-m)d　　它可以看作等差数列广义的通项

10、公式。　　从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：　　a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…，n}　　若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有　　am+an=ap+aq　　S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1　　Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差数列，等等。　　和=（首项+末项）×项数÷2　　项数=（末项-首项）÷公差+1　　首项=2和÷项数-末项　　末项=2和÷项数-首项　　设a1,a2,a3为等差数列。则a2为等差中项，则2倍的a2等于a1+a3

11、，即2a2=a1+a3。等比数列通项公式　　an=a1q^(n-1)　　an=Sn-S(n-1)(n≥2)前n项和　　当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为　　Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)(q≠1)　　当q=1时，等比数列的前n项和的公式为　　Sn=na1性质　　任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)　　（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n}　　（4）等比中项：aq·