立体几何中的平行关系.doc

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1、立体几何中的平行关系1．已知m、n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，下列命题中的真命题是_．①如果m⊂α，n⊂β，m∥n，那么α∥β②如果m⊂α，n⊂β，α∥β，那么m∥n③如果m⊂α，n⊂β，α∥β且m，n共面，那么m∥n④如果m∥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β解析：m⊂α，n⊂β，α∥β⇒m，n没有公共点．又m，n共面，所以m∥n.答案：③2．已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：①若m∥α，则m平行于平面α内的无数条直线；②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；④若α∥β，m⊂α，则m∥β.其中，真命题的序号是__

2、______．(写出所有真命题的序号)解析：②中α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n或m，n异面，所以②错误．而其它命题都正确．答案：①③④3．(2010年苏北四市调研)给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：①若m⊂α，l∩α＝A，点A∉m,则l与m不共面；②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；④若l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β.其中为真命题的是________．解析：③中若l⊂β，m⊂α，α∥β⇒l∥m或l，m异面，所以②错误．而其它命题都正确．答案：①②④4．(2009年高考

3、福建卷改编)设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是________．①m∥β且l1∥α　　②m∥l1且n∥l2③m∥β且n∥β④m∥β且n∥l2解析：∵m∥l1，且n∥l2，又l1与l2是平面β内的两条相交直线，∴α∥β，而当α∥β时不一定推出m∥l1且n∥l2，可能异面．答案：②5．如图，ABCD为直角梯形，∠C＝∠CDA＝90°，AD＝2BC＝2CD，P为平面ABCD外一点，且PB⊥BD.(1)求证：PA⊥BD；(2)若PC与CD不垂直，求证：PA≠PD；(3)若直线l过点P，且直线l∥直线BC，试在直线l上找一点

4、E，使得直线PC∥平面EBD.解：(1)证明：∵ABCD为直角梯形，AD＝AB＝BD，∴AB⊥BD，PB⊥BD，AB∩PB＝B，AB，PB⊂平面PAB，BD⊥平面PAB，PA⊂平面PAB，∴PA⊥BD.(2)证明：假设PA＝PD，取AD中点N，连结PN，BN，则PN⊥AD，BN⊥AD，AD⊥平面PNB，得PB⊥AD，又PB⊥BD，得PB⊥平面ABCD，∴PB⊥CD.又∵BC⊥CD，∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PC，与已知条件PC与CD不垂直矛盾．∴PA≠PD.(3)在l上取一点E，使PE＝BC，连结BE，DE，∵PE∥BC，∴四边形BCPE是平行四边形，∴PC∥BE，PC⊄平面EB

5、D，BE⊂平面EBD，∴PC∥平面EBD.6．如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别为A1D1、A1B1、B1C1、C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面PQDB.7．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝，AB＝1，AD＝2，E为BC的中点，点M为棱AA1的中点．(1)证明：DE⊥平面A1AE；(2)证明：BM∥平面A1ED.证明：(1)在△AED中，AE＝DE＝，AD＝2，∴AE⊥DE.∵A1A⊥平面ABCD，∴A1A⊥DE，∴DE⊥平面A1AE.(2)设AD的中点为N，连结MN、BN.在△A1AD中，AM＝MA1，AN＝ND，∴MN∥A1

6、D，∵BE∥ND且BE＝ND，∴四边形BEDN是平行四边形，∴BN∥ED，∴平面BMN∥平面A1ED，∴BM∥平面A1ED.8．如图在四面体S—ABC中，E、F、O分别为SA、SB、AC的中点，G为OC的中点，证明：FG∥平面BEO.9．如图，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.(1)求证：AE⊥BE；(2)设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．求证：MN∥平面DAE.证明：(1)因为BC⊥平面ABE，AE⊂平面ABE，所以AE⊥BC，又BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，所以AE⊥BF，又BF∩BC＝B，所以AE⊥平面BCE，又BE

7、⊂平面BCE，所以AE⊥BE.(2)取DE的中点P，连结PA，PN，因为点N为线段CE的中点．所以PN∥DC，且PN＝DC，又四边形ABCD是矩形，点M为线段AB的中点，所以AM∥DC，且AM＝DC，所以PN∥AM，且PN＝AM，故四边形AMNP是平行四边形，所以MN∥AP，而AP⊂平面DAE，MN⊄平面DAE，所以MN∥平面DAE.