第四节行列式按行（列）展开.doc

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1、第四节行列式按行(列)展开分布图示★引例★余子式与代数余子式★例1★引理★行列式按行（列）展开★例2★例3★应用按行（列）展开法则计算行列式★例4★例5★例6★例7★例8★拉普拉斯定理★例9★例10★内容小结★课堂练习★习题1-4内容要点一、行列式按一行(列)展开定义1在阶行列式中,去掉元素所在的第行和第列后,余下的阶行列式,称为中元素的余子式,记为,再记称为元素的代数余子式.引理一个n阶行列式D,若其中第i行所有元素除外都为零，则该行列式等于与它的代数余子式的乘积，即定理1行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即或推论行列式某一行(列)的元素与另一行(

2、列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即或综上所述,可得到有关代数余子式的一个重要性质:或其中，二、行列式的计算直接应用按行(列)展开法则计算行列式,运算量较大,尤其是高阶行列式.因此,计算行列式时，一般可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素,再按此行(列)展开,化为低一阶的行列式,如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.例题选讲例1设有5阶行列式:.(1)其余子式其代数余子式(2)其余子式,其代数余子式例2求下列行列式的值:（1）（2）解(1)(2)例3(E01)试按第三列展开计算行列式解将按第三列展开，则有其中所以例4(E02)计算行列式解例5(E0

3、3)计算行列式解例6(E04)求证.证例7(E05)证明范德蒙德(Vandermonde)行列式其中记号“П”表示全体同类因子的乘积.证用数学归纳法.当时(1)式成立.假设(1)式对于时成立，则例8设D中元素的余子式和代数余子式依次记作和,求及.解注意到等于用代替的第1行所得的行列式,即又按定义知,例9用拉普拉斯定理求行列式的值.解按第一行和第二行展开例10计算阶行列式(其中未写出的元素为0).解把中的第行依次与第行,…,第2行对调(作次相邻对换),再把第列依次与第列,…,第2列对调,得以此作递推公式,得课堂练习1.计算行列式2.讨论当k为何值时3.设阶行列式求第一行各元素的代数

4、余子式之和