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时间:2020-09-14
《二次函数的性质与图像教案.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.2.2 二次函数的性质与图象【学习要求】1.掌握二次函数的概念及性质;2.会求抛物线的对称轴与顶点坐标;3.会用配方法将二次函数y=ax2+bx+c变形为y=a(x-h)2+k的形式,从而会求二次函数的最值.【学法指导】通过探究多个具体的二次函数的图象,感知二次项系数对张口方向和张口大小的影响;通过探究具体的二次函数的图象和性质,归纳出二次函数的图象和性质;在探究二次函数的性质过程中培养分类讨论及数形结合的思想方法.填一填:知识要点、记下疑难点1.函数y=ax2(a≠0)的图象是一条以原点为顶点,y轴为对称轴的抛物线.2.一元二次函数的定义:函数y=ax2+bx+c(a≠
2、0)叫做二次函数,其图象是一条抛物线,当a>0时,抛物线开口向上,当a<0时,抛物线开口向下.
3、a
4、越小图象开口就越大,
5、a
6、越大图象开口就越小.抛物线的顶点坐标是(-,),抛物线的对称轴是直线x=-.3.一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质:当a>0时,函数在区间(-∞,-]上是减函数,在[-,+∞)上是增函数,当x=-时,ymin=;当a<0时,函数在区间(-∞,-]上是增函数,在[-,+∞)上是减函数,当x=-时,ymax=.研一研:问题探究、课堂更高效[问题情境] 在初中我们学习过二次函数,但研究的不够深入.譬如:y=ax2和y=ax2+bx+c(a≠0)
7、的图象之间有什么关系?y=ax2+bx+c(a≠0)的单调性如何?何时取得最值?这些问题就是我们本节重点研究的问题.探究点一 二次函数的概念问题1在初中我们学习过二次函数,那么二次函数是如何定义的?它的定义域是什么?答:函数y=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数,它的定义域是R.问题2对于二次函数y=ax2(a≠0),观察下面的图象,说出a的变化是如何影响其图象的张口的大小的?答:当a>0时,函数y=ax2(a≠0)的图象张口向上,a越小图象开口就越大,a越大图象开口就越小;当a<0时,函数y=ax2(a≠0)的图象张口向下,
8、a
9、越小图象开口就越大,
10、a
11、越大图象开口就
12、越小.探究点二 二次函数的性质例1 试述二次函数f(x)=x2+4x+6的性质,并作出它的图象.解:(1)配方f(x)=(x2+8x+12)=[(x+4)2-4]=(x+4)2-2.由于对任意实数x,都有(x+4)2≥0,因此f(x)≥-2,当且仅当x=-4时取等号.这说明该函数当x=-4时,取得最小值-2,记为ymin=-2,它的图象的顶点为(-4,-2).(2)求函数的图象与坐标轴的交点,令y=0,即x2+4x+6=0,解此一元二次方程,得x1=-6,x2=-2,这说明该函数的图象与x轴相交于两点(-6,0)和(-2,0),令x=0,得f(0)=6,说明函数的图象与y轴的
13、交点是(0,6).(3)列表描点作图:以x=-4为中间值,取x的一些值(包括使y=0的x值),列出这个函数的对应值表:x…-7-6-5-4-3-2-1…y…0--2-0…在直角坐标系内描点作图(下图).(4)函数图象的对称轴是x=-4,因为f(-4-h)=(-4-h)2+4(-4-h)+6=h2-2,f(-4+h)=(-4+h)2+4(-4+h)+6=h2-2,所以f(-4-h)=f(-4+h).这就是说,抛物线f(x)=x2+4x+6关于直线x=-4对称.(5)函数的增减性,再观察这个函数的图象,还可以发现,函数在区间(-∞,-4]上是减函数,在区间[-4,+∞)上是增函数
14、.小结: (1)函数y=a(x-h)2+k与函数y=ax2的图象形状相同,开口方向相同,函数y=a(x-h)2+k的图象的对称轴是直线x=h;顶点坐标为(h,k).(2)如果一个函数满足f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x),那么函数f(x)的图象关于直线x=a对称.跟踪训练1 求函数y=-x2+2x+3的最值、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点及函数的单调区间.解: 由于y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,由-(x-1)2≤0,得y≤4,当且仅当x=1时取“=”,所以当x=1时,函数有最大值,即ymax=4.函数图象的顶点坐标为(1,4),对称轴为x=1,
15、单调增区间为(-∞,1],单调减区间为[1,+∞).问题1 由函数y=ax2(a≠0)的图象作怎样的变换就能得到函数y=a(x+h)2+k(a≠0)的图象?答:y=a(x+h)2+k(a≠0)的图象可以看作由y=ax2的图象平移得到的,h决定了二次函数图象的左右平移,而且“h正左移,h负右移”;k决定了二次函数图象的上下平移,而且“k正上移,k负下移”.问题2 由函数y=ax2的顶点和对称轴分别为(0,0)及y轴,你能得出函数y=a(x+h)2+k(a≠0)图象的顶点坐标及对称轴各是什么吗?答:由于y=
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