第四节函数的单调性与曲线的凹凸性课件.ppt

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1、第四节函数的单调性与曲线的凹凸性一、单调性的判别法二、单调区间求法六、小结三、曲线凹凸的定义五、曲线凹凸的判定四、曲线的拐点及其求法一、单调性的判别法【定理】【证】应用拉氏定理,得【例1】【解】【注意】函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．【说明】定理中区间换成其它有限或无限区间，结论仍成立.【例2】【解】连续如上图【问题】函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．单调区间的分界点怎么求呢？二、单调区间求法【定义】若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称

2、为函数的单调区间.导数等于零的点(驻点)和不可导点，可能是单调区间的分界点．【方法】【可能分界点】单调区间的求法步骤：①求②求驻点、不可导点(可能的分界点)④确定单调区间③列表考察f(x)在各个区间内的符号【例3】【解】单调区间为【例4】【解】讨论函数的单调性在x=0处有一水平切线在(－∞,0]及[0,＋∞）上都单调增加如图所示【例5】【证】【应用】Ⅰ利用单调性证明不等式【结论】若函数在某区间上除有限个点导数为零外,均有(或),则不影响函数的单调性.教材P130例1【补例6】证明【证】正负不易判定即［证完］【补例7】【应用】Ⅱ利用单调性确定某些方程

3、实根的个数.前已证过1.用零点定理证存在性（正根）.2.用罗尔定理反证唯一性.以下用1.用零点定理证存在性（正根）.2.用函数的单调性证唯一性.【证明】唯一性则其图象若与轴相交则仅相交一次存在性（略，用零点定理在内证）故方程只有一个正根.【证完】三、曲线凹凸的定义【问题】单调性不能反映曲线的弯曲方向；如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方【定义】四、曲线凹凸的判定【定理1】【观察】【证】只证(1)如图由拉氏中值定理可得两式相减得即亦即凹的［证完］【例8】【解】【注意到】【注】定理中区间为非闭区间时仍然成立

4、.这样的点称为拐点.五、曲线的拐点及其求法1、【定义】【注意】拐点处的切线必在拐点处穿过曲线（指拐点处可导时）.2、拐点的求法【分析】连续曲线上凹凸的分界点(内点)称为曲线的拐点.所以要寻求拐点,只要找出f(x)符号发生变化的分界点即可.如果f(x)在区间I内具有二阶连续导数,则二阶导数值在由负变正或由正变负的过程中,必在分界点处的值为零.即此外二阶导数不存在的点也可能是拐点（如下图）原点既是角点、又是拐点，不可导可能的拐点【总结】①②【方法】【求拐点的步骤】设函数f(x)在x0的某去心邻域内二阶可导,且x0是可能的拐点,则【例9】【解】拐点拐点【

5、例10】【解】但时总有凹的故此例说明了的点也可能不是拐点.【结论】【例11】【解】【注意】【凹凸性应用】由曲线的凹凸定义证明不等式证明教材P1529(3)【证】令则于是由凹弧定义有即［得证］【例12】六、小结单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.【应用】利用函数的单调性，可以Ⅱ.确定某些方程实根的个数Ⅰ.证明不等式.【思考题】【思考题解答】不能断定.例但当时，当时，【注意】可以任意大，故在点的任何邻域内，都不单调递增．