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《【高三总复习】2013高中数学技能特训9-4数学归纳法(理)(人教B版)含解析.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、9-4数学归纳法(理)基础巩固强化1.用数学归纳法证明1+++…+1)时,第一步应验证不等式( )A.1+<2 B.1++<2C.1++<3D.1+++<3[答案] B[解析] ∵n∈N*,n>1,∴n取的第一个数为2,左端分母最大的项为=,故选B.2.某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N*)时命题成立,则可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题不成立,那么可以推得( )A.n=6时该命题不成立B.n=6时该命题成立C.n=4时该命题不成立D.n=4时该命题成立[答案] C[解析] ∵“若n=k(k∈N*)时命题成立,则当n=k+1
2、时,该命题也成立”,故若n=4时命题成立,则n=5时命题也应成立,现已知n=5时,命题不成立,故n=4时,命题也不成立.[点评] 可用逆否法判断.3.(2012·深圳市明德外语实验学校测试)用数学归纳法证明:12+22+…+n2+…+22+12=,第二步证明由“k到k+1”时,左边应加( )A.k2B.(k+1)2C.k2+(k+1)2+k2D.(k+1)2+k2[答案] D[解析] 当n=k时,左边=12+22+…+k2+…+22+12,当n=k+1时,左边=12+22+…+k2+(k+1)2+k2+…+22+12,∴选D.4.已知Sk=+++…+(k=1,2,3,…),则Sk+1
3、等于( )A.Sk+B.Sk+-C.Sk+-D.Sk++[答案] C[解析] Sk+1=++…+=++…+=++…+++-=Sk+-.5.数列{an}中,已知a1=1,当n≥2时,an-an-1=2n-1,依次计算a2、a3、a4后,猜想an的表达式是( )A.an=3n-2B.an=n2C.an=3n-1D.an=4n-3[答案] B[解析] a1=1,a2=4,a3=9,a4=16,猜想an=n2.6.已知f(n)=+++…+,则( )A.f(n)中共有n项B.f(n)中共有n+1项C.f(n)中共有n2-n项D.f(n)中共有n2-n+1项[答案] D[解析] f(n)的分
4、母从n开始取自然数到n2止,共有n2-(n-1)=n2-n+1项.7.如果不等式2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立,则n0的最小值为________.[答案] 5[解析] 当n=1时,2>2不成立,当n=2时,4>5不成立.当n=3时,8>10不成立当n=4时,16>17不成立当n=5时,32>26成立当n=6时,64>37成立,由此猜测n0应取5.8.用数学归纳法证明:(n+1)+(n+2)+…+(n+n)=(n∈N*)的第二步中,当n=k+1时等式左边与n=k时等式左边的差等于________.[答案] 3k+2[解析] [(k+1)+1]+[(k+1)+2]+…+[(k+
5、1)+(k+1)]-[(k+1)+(k+2)+…+(k+k)]=[(k+1)+k]+[(k+1)+(k+1)]-(k+1)=3k+2.9.(2012·长春模拟)如图,第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来的(n=1,2,3,…),则第n-2(n≥3,n∈N*)个图形共有________个顶点.[答案] n(n+1)[解析] 当n=1时,顶点共有3×4=12(个),当n=2时,顶点共有4×5=20(个),当n=3时,顶点共有5×6=30(个),当n=4时,顶点共有6×7=42(个),故第n-2图形共有顶点(n-2+2)(n-2+3)=n(n+1)个.10.已知函数f(x)=x3-x,数列
6、{an}满足条件:a1≥1,an+1≥f′(an+1).试比较+++…+与1的大小,并说明理由.[解析] ∵f′(x)=x2-1,an+1≥f′(an+1),∴an+1≥(an+1)2-1.∵函数g(x)=(x+1)2-1=x2+2x在区间[-1,+∞)上单调递增,于是由a1≥1,及a2≥(a1+1)2-1得,a2≥22-1,进而得a3≥(a2+1)2-1≥24-1>23-1,由此猜想:an≥2n-1.下面用数学归纳法证明这个猜想:①当n=1时,a1≥21-1=1,结论成立;②假设当n=k(k≥1且k∈N*)时结论成立,即ak≥2k-1,则当n=k+1时,由g(x)=(x+1)2-1在
7、区间[-1,+∞)上单调递增知,ak+1≥(ak+1)2-1≥22k-1≥2k+1-1,即n=k+1时,结论也成立.由①、②知,对任意n∈N*,都有an≥2n-1.即1+an≥2n.∴≤.∴++…++…+≤+++…+=1-()n<1.能力拓展提升11.若f(x)=f1(x)=,fn(x)=fn-1[f(x)](n≥2,n∈N*),则f(1)+f(2)+…+f(n)+f1(1)+f2(1)+…+fn(1)=( )A.nB.C.D.1[答案] A
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