【高三总复习】2013高中数学技能特训9-4数学归纳法(理)(人教B版)含解析.doc

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1、9-4数学归纳法(理)基础巩固强化1.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证不等式(　　)A．1＋<2　　　　　　B．1＋＋<2C．1＋＋<3D．1＋＋＋<3[答案]　B[解析]　∵n∈N*，n>1，∴n取的第一个数为2，左端分母最大的项为＝，故选B.2．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，则可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得(　　)A．n＝6时该命题不成立B．n＝6时该命题成立C．n＝4时该命题不成立D．n＝4时该命题成立[答案]　C[解析]　∵“若n＝k(k∈N*)时命题成立，则当n＝k＋1

2、时，该命题也成立”，故若n＝4时命题成立，则n＝5时命题也应成立，现已知n＝5时，命题不成立，故n＝4时，命题也不成立．[点评]　可用逆否法判断．3．(2012·深圳市明德外语实验学校测试)用数学归纳法证明：12＋22＋…＋n2＋…＋22＋12＝，第二步证明由“k到k＋1”时，左边应加(　　)A．k2B．(k＋1)2C．k2＋(k＋1)2＋k2D．(k＋1)2＋k2[答案]　D[解析]　当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋k2＋…＋22＋12，当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋…＋22＋12，∴选D.4．已知Sk＝＋＋＋…＋(k＝1,2,3，…)，则Sk＋1

3、等于(　　)A．Sk＋B．Sk＋－C．Sk＋－D．Sk＋＋[答案]　C[解析]　Sk＋1＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝＋＋…＋＋＋－＝Sk＋－.5．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2、a3、a4后，猜想an的表达式是(　　)A．an＝3n－2B．an＝n2C．an＝3n－1D．an＝4n－3[答案]　B[解析]　a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.6．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　)A．f(n)中共有n项B．f(n)中共有n＋1项C．f(n)中共有n2－n项D．f(n)中共有n2－n＋1项[答案]　D[解析]　f(n)的分

4、母从n开始取自然数到n2止，共有n2－(n－1)＝n2－n＋1项．7．如果不等式2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立，则n0的最小值为________．[答案]　5[解析]　当n＝1时，2>2不成立，当n＝2时，4>5不成立．当n＝3时，8>10不成立当n＝4时，16>17不成立当n＝5时，32>26成立当n＝6时，64>37成立，由此猜测n0应取5.8．用数学归纳法证明：(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(n＋n)＝(n∈N*)的第二步中，当n＝k＋1时等式左边与n＝k时等式左边的差等于________．[答案]　3k＋2[解析]　[(k＋1)＋1]＋[(k＋1)＋2]＋…＋[(k＋

5、1)＋(k＋1)]－[(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(k＋k)]＝[(k＋1)＋k]＋[(k＋1)＋(k＋1)]－(k＋1)＝3k＋2.9．(2012·长春模拟)如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来的(n＝1,2,3，…)，则第n－2(n≥3，n∈N*)个图形共有________个顶点．[答案]　n(n＋1)[解析]　当n＝1时，顶点共有3×4＝12(个)，当n＝2时，顶点共有4×5＝20(个)，当n＝3时，顶点共有5×6＝30(个)，当n＝4时，顶点共有6×7＝42(个)，故第n－2图形共有顶点(n－2＋2)(n－2＋3)＝n(n＋1)个．10．已知函数f(x)＝x3－x，数列

6、{an}满足条件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)．试比较＋＋＋…＋与1的大小，并说明理由．[解析]　∵f′(x)＝x2－1，an＋1≥f′(an＋1)，∴an＋1≥(an＋1)2－1.∵函数g(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x在区间[－1，＋∞)上单调递增，于是由a1≥1，及a2≥(a1＋1)2－1得，a2≥22－1，进而得a3≥(a2＋1)2－1≥24－1>23－1，由此猜想：an≥2n－1.下面用数学归纳法证明这个猜想：①当n＝1时，a1≥21－1＝1，结论成立；②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时结论成立，即ak≥2k－1，则当n＝k＋1时，由g(x)＝(x＋1)2－1在

7、区间[－1，＋∞)上单调递增知，ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1，即n＝k＋1时，结论也成立．由①、②知，对任意n∈N*，都有an≥2n－1.即1＋an≥2n.∴≤.∴＋＋…＋＋…＋≤＋＋＋…＋＝1－()n<1.能力拓展提升11.若f(x)＝f1(x)＝，fn(x)＝fn－1[f(x)](n≥2，n∈N*)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＋f1(1)＋f2(1)＋…＋fn(1)＝(　　)A．nB.C.D．1[答案]　A