高等数学微积分第八章 第4节ppt课件.ppt

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1、§4第一型曲线积分和曲面积分一、第一型曲线积分二、第一型曲面积分：1。曲面的面积和面积微元2。第一型曲面积分的计算一、第一型曲线积分设L为一条光滑或分段光滑曲线，我们讨论的计算。以前已讨论过平面曲线的弧微分：现在类似的看空间光滑曲线的弧微分：1。当曲线方程为若dt>0，则此时，一、第一型曲线积分例1计算曲线积分其中L是螺旋线：[解]一、第一型曲线积分故一、第一型曲线积分2。若曲线方程为此时故一、第一型曲线积分一、第一型曲线积分若平面曲线L:则若平面曲线L:则即曲线L:若平面曲线L取极坐标方程：则可把它改成以为参数的参数方程：此时一、第一型曲线积分例2计算，其中L为上半圆

2、弧。[解法1]L的方程为：一、第一型曲线积分故[解法2]曲线L的极坐标方程为一、第一型曲线积分弧长微元故一、第一型曲线积分一、第一型曲线积分[解法3]L的方程为：故例3计算曲线积分,其中L为圆周[解]利用隐函数求导法，得故一、第一型曲线积分由原方程解得所以一、第一型曲线积分为去掉绝对值，我们L分为两段：则一、第一型曲线积分[又解]由于L的方程中的地位一样，又因为，故一、第一型曲线积分一、第一型曲线积分二、第一型曲面积分：1。曲面的面积和面积微元设空间有界光滑曲线具有显式方程定义曲面的的面积：假定是曲面在平面的投影利用“分割、近似、求和、取极限”的方法求曲面的面积：二、第

3、一型曲面积分：引理设曲面在处的单位法向量为则由引理可知记为曲面的面积微元二、第一型曲面积分：几种类型方程曲面的面积二、第一型曲面积分：二、第一型曲面积分：则其法向量为故二、第一型曲面积分：所以二、第一型曲面积分：因此曲面的面积：二、第一型曲面积分：2。第一型曲面积分的计算则曲面积分则曲面积分二、第一型曲面积分：则曲面积分二、第一型曲面积分：则二、第一型曲面积分：例6.设是由球面和锥面所围立体的表面，计算曲面积分[解]由和消去z得二、第一型曲面积分：由此可得曲面在平面的投影为在曲面,把分成两部分:二、第一型曲面积分：二、第一型曲面积分：故对于:二、第一型曲面积分：二、第一

4、型曲面积分：在极坐标系下:二、第一型曲面积分：所以例7.设是圆柱面,介于和之间的部分,计算曲面积分二、第一型曲面积分：[解]曲面可分为两片:把和投影到平面,得到投影区域,可表示为:二、第一型曲面积分：对于和,曲面积分微元二、第一型曲面积分：故二、第一型曲面积分：[又解]利用柱面坐标可表示为二、第一型曲面积分：故