资源描述：
《微积分第八章ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、微积分（下册）第八章多元函数微分学多元函数第一节偏导数第二节全微分第三节多元函数微分学在几何上的应用第四节第八章多元函数微分学在前面所学的内容中我们所讨论的函数只有一个自变量，称为一元函数，但在许多实际问题中，所遇到的函数的自变量往往是两个或两个以上，这一类函数称为多元函数.本章将在一元函数微分学的基础上讨论多元函数的微分学，主要包括多元函数的概念及二元函数的极限和连续、偏导数、全微分及其应用，重点讲解求解二元函数的偏导数和全微分的方法及其在几何上的应用.多元函数第一节一、多元函数的概念预备知识1.在上册我们研究一元函数的微积分学时，其概念、理论和方法都是基于一维空间中(
2、即数轴上)的点集、两点间距离、区间和邻域等概念，为了将一元函数的微积分学推广到多元函数的情形，必须将上述概念加以推广，以供我们研究多元函数时使用.一、多元函数的概念1）平面点集和n维空间平面点集是指平面上满足某个条件P的一切点构成的集合.在平面解析几何中，平面上的点与有序二元实数组之间建立了一一对应，由此可借助于平面坐标来描述平面点集.例如，平面上以原点为中心，以1为半径的圆的内部就是一个平面点集(见图8-1)，它可表示成E={(x,y)
3、x2+y2<1}.图8-1一、多元函数的概念由平面解析几何我们还知道，平面上任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距
4、离为
5、P1P2
6、=(x1－x2)2+(y1－y2)2.在空间解析几何中，我们同样建立了空间中的点与有序三元实数组之间的一一对应关系，也可用空间坐标来描述空间点集.例如，空间中以原点为球心，2为半径的球面上的点构成的点集，可表示为M={(x,y,z)
7、x2+y2+z2=4}.一、多元函数的概念由空间解析几何知道，空间中任意两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z1)之间的距离公式为
8、P1P2
9、=(x1－x2)2+(y1－y2)2+(z1－z2)2.上面我们把一维空间的点集和距离概念推广到二维空间R2(平面点集)和三维空间R3(空间点集).类似地，我们可以把
10、这个概念推广到n元有序数组(x1,x2,…,xn)所组成的集合Rn，称为n维空间.n维空间中的点P与n元有序数组(x1,x2,…,xn)之间建立了一一对应关系，可用n元有序数组(x1,x2,…,xn)来表示n维空间中的点P，其中(x1,x2,…,xn)称为点P的坐标.一、多元函数的概念n维空间中任意两点P1(x1,x2,…,xn),P2(y1,y2,…,yn)之间的距离为
11、P1P2
12、=(x1－y1)2+(x2－y2)2+…+(xn－yn)2.(8-1)下面研究的有关内容均建立在二维空间R2的基础上，其结论可推广到Rn中去.一、多元函数的概念2）邻域设P0(x0,y0)
13、是平面上一点，δ>0，以P0为中心，δ为半径的圆的内部点P(x,y)的全体构成的点集，称为点P0的δ邻域，记作U(P0,δ)，即U(P0,δ)={(x,y)
14、(x－x0)2+(y－y0)2<δ}.在点P0的δ邻域内，如果去掉中心点P0，则称为点P0的δ去心邻域，记作U(P0,δ)，即U(P0,δ)={(x,y)
15、0<(x－x0)2+(y－y0)2<δ}.一、多元函数的概念3）内点、外点、边界点(1)内点：设E是平面点集，P是平面上一点，如果存在P的某一邻域，此邻域内的点都属于E，则称点P为点集E的内点(见图8-2).图8-2一、多元函数的概念(2)外点：设E是平面点
16、集，P是平面上一点，如果存在P的某一邻域，此邻域内的点都不属于E，则称点P为点集E的外点(见图8-3).图8-3一、多元函数的概念(3)边界点：设E是平面点集，P是平面上一点，如果P的任一邻域内既有属于E的点，又有不属于E的点，则称点P为点集E的边界点(见图8-4).E的边界点的全体称为E的边界.图8-4一、多元函数的概念例如，单位圆内的点都是圆的内点，单位圆上的点都是圆的边界点，单位圆外的点都是圆的外点，单位圆周为圆的边界.边界点可能属于点集E，也可能不属于点集E.注一、多元函数的概念4）开集和连通集如果集合E中的每个点都是内点，则称E是开集.对于开集E，如果E中的任何
17、两点都可以用E中的折线连接起来，则称E是连通集.一、多元函数的概念5）区域和闭区域连通的开集E称为区域或开区域.开区域E连同它的边界一起称为闭区域.在不混淆的情况下，开区域和闭区域统称为区域.一、多元函数的概念6）有界区域和无界区域对于平面区域E，如果存在某一正数r，使得EU(O,r)，其中O是坐标原点，则称区域E为有界区域.否则，称区域E为无界区域.例如，区域E={(x,y)
18、x2+y2<1}是有界区域；区域E={(x,y)
19、x2+y2≤1}是有界闭区域；区域E={(x,y)
20、x+y<1}是无界区域；区域E={(x,
