高等数学微积分第八章 第5节ppt课件.ppt

《高等数学微积分第八章 第5节ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、一`第一类积分的几何应用二`质量`距和重心三`引力§5第一型积分的应用一`第一型积分的几何应用可测几何体的测度一条可求长曲线L的长度一块平面区域的面积一个空间区域Ω的体积一块空间曲面∑的面积⑵求球面x2+y2+z2=R2包含在柱面x2+y2=Rx内部的部分Σ1的面积.⑶求柱面x2+y2=Rx包含在球面x2+y2+z2=R2内部的部分∑2的面积.围成的包含原点的体积Ω的体积.例1⑴在球面与柱面[解法1]⑴Ω在xoy平面的投影区域Dxy：x2+y2≤Rx利用柱坐标Ω1可表示为故由对称性，只需计算第一卦限立体Ω1的体积，由对称性，只需计算第一卦限那部分　的面积，时通常不宜向xoy平面投

2、影，现在把它投影到xoz平面，由图形的对称性，可先求出它在第一卦限⑶曲面是平行于oz轴的柱面，计算它的面积的部分的面积，的方程为：它在xoz平面的投影的上侧边界可由方程组消去y得：故投影区域的不等式表示为：的面积微元：因此的面积：设有一个母线平行于oz轴的柱面它的准线为L：也可以利用曲线积分求的面积。在面柱包含在球面内部的部分面积为下侧边界为：其上侧边界：将曲面用过L平行于oz轴的直线分割成若干小片，取其一典型小片dS,设这小片在xoy平面的它的面积dS=因此，柱面的面积可利用沿L的曲线积分表示解法2：柱面在xoy平面的投影是曲线的长方形，的弧微元为ds,高柱面的上侧边界是;下侧

3、边界是z=0,曲线L的弧长微元：故的面积为：因此（注记）认定Ω是何重几何体，是曲线，曲面，还是平面区域，空间区域，才能选择合适的计算公式和计算方法。二`质量`矩和重心1质量设质量连续分布在可测几何体Ω上，其密度为f(p),则分布在Ω上的质量例2设质量按线密度分布在曲线：上，求分布在曲线上的质量。[解]在上例3设半径为R的球面上各点的密度等于该点到球的一定直径的距离的平方，求该球面的质量。选取坐标系，该定直径在使原点在球心，轴,G则球面的方程为：的面密度点故分布在球面上的质量：因为上下半球质量分布对称，上半球面的方程是：它在平面的投影区域用极坐标表示为：其曲面面积元素为：用球面坐标

4、计算：曲面面积微元：2矩`重心和转动惯量处分布有质量设在点则得到一个质点系这离散质点系关于yoz平面，zox平面和xoy平面的k阶矩分别为：又设到某一固定直线（轴）L的距离记为则质点系对轴L的转动惯量为：重心的坐标为：若质量连续分布在可测几何体Ω，用第一型积分计算：设质量在可测几何体Ω上按密度连续分布Ω分割成小块记最大直径任取则当充分小时分布在的质量平面和xoy平面的k阶矩分别为：把的质量看作集中在则质点系关于yoz平面，zox当时分布在的质量关于yoz平面，zox平面和xoy平面的k阶矩用第一型积分依次表示：当k=1时，为的静矩当k=2时，为关于yoz平面，zox平面和xoy的

5、零阶矩表示分布在当k=0时，的质量平面的转动惯量类似方法，分布在质量的重心的坐标为：关于轴L的转动惯量为：特别地，关于ox轴`oy轴和oz轴的转动惯量为：如果的密度均匀分布，设其密度为1，则把重心说成是的形心，这时形心坐标例4求位于两圆和之间月牙形均匀薄片D的形心。圆周的极坐标方程为圆周的极坐标方程为：D在极坐标下可表示为：故因此：由于D关于x轴对称，则D的形心例5求半径为R，中心角为的均匀物质圆弧对于其对称轴的转动惯量。（设线密度为常数K）建坐标使圆心在原点对称轴为x轴，极角为参数，圆弧L的方程为：弧长微元：于是：设是可测几何体，其上质量按密度函数三`引力连续分布；是外的一点，

6、分布有单位质量，对任一点记：现在讨论对质点的引力。将分割成，记任取当充分小时，上的质量：把这部分质量看作集中在点，由万有引力定律知，它对的引力：其中k是引力常数，于是对质点的引力，对上式取极限就得到对质点的令引力为：例9求半径为R的均匀球体（体积密度为常数）对位于（0，0，a)处单位质点的引力由球体的对称性及质量分布的均匀性知：又按公式，所求引力沿z轴的分量为：其中由于所以其中为均匀球体的质量。解由积分区域的对称性知