高等数学微积分第八章 第3节ppt课件.ppt

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1、§3利用极坐标、柱坐标和球坐标求重积分一、重积分的换元积分法二、利用极坐标系计算二重积分三、利用柱坐标和球坐标求重积分一、重积分的换元积分法定理1设f（x，y）在有界闭区域D连续，在D上具有一阶连续偏导数的函数把D映射为uv平面的区域D`，其逆变换记成又设行列式例1f（x，y）在闭区域Dxy连续，则极坐标变换则它把变成，行列式一、重积分的换元积分法定理2：设f（x，y，z）在空间有界区域Ω连续，函数u=u（x，y，z），v=v（x，y，z），w=w（x，y，z）在Ω上具有一阶连续偏导数，并把Ω映射到Ouvw空间的区域Ω`。其逆映射为故若Jacobi行列式：一、重积分的换元积分法一、重积分的换元

2、积分法则成立换元积分公式：例2设空间一点M（x,y,z）在xoy平面的投影P（x，y），如果P（x，y）的极坐标为变换的Jacobi行列式为即则称为点M的柱坐标。它与直角坐标的变换关系为：一、重积分的换元积分法，故成立换元积分公式一、重积分的换元积分法柱坐标中，ρ是点M到Oz轴的距离，θ是面OPM和面xOz的交角。三族坐标面为:若ρ=常数，它是以z轴为轴的r=ρ的圆柱面；若z=常数，是过（0,0,z）平行与面xoy的面.若=常数，是过Oz轴的半平面；体积元素一、重积分的换元积分法为常数平面。圆柱面；为常数半平面；为常数三族坐标面见下页如图：一、重积分的换元积分法例3设空间一点在xoy面的投影为

3、向径的长度，与OZ轴正向的交角为,过OZ轴和点M的半平面的交角。故球坐标与直角坐标的变换关系：则称为M的球坐标，注意到一、重积分的换元积分法一、重积分的换元积分法故成立换元积分公式:故，球坐标系中体积微元一、重积分的换元积分法二、利用极坐标系计算二重积分极坐标系下化二重积分为二次积分设积分区域D的点的极角变化的范围在和之间，射线和把区域D的变化分成内侧边界和外侧边界设它们都是单值函数，极角的射线从极坐标为的点进入区域D，从极坐标为的点穿出。满足因此在极坐标系下区域D有如下不等式:此时有:这条射线落D内的部分其极坐标二、利用极坐标系计算二重积分此时,见下页图8-5(a).当D包含极点O在内D的边

4、界通过极点O时,此时见下页图8-5(b)(c).取二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分例6平面上到两定点（-a，0）和（a，0）的距离之积为的点的轨距称双钮线，求双钮线所围图形的面积。设动点坐标为(x,y),则[解]:二、利用极坐标系计算二重积分如右图所示得到由此可知双钮线关于坐标轴及坐标原点对称令得双钮线的极坐标方程二、利用极坐标系计算二重积分在第一象限部分区域D二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分例10计算积分(1),其中D为圆域.(2)[解](1)在极坐标系下,积分区域D可表示为则二、利用极坐标系计算二重积分三、利用柱坐

5、标和球坐标求重积分若空间区域在球坐标系下的不等式表示为则三、利用柱坐标和球坐标求重积分则三重积分若一空间区域在柱坐标系下的不等式表示为例14.求三重积分其中V是球面与抛物面所围部分。三、利用柱坐标和球坐标求重积分[解法1]在xoy面上的投影曲线因此V在平面的投影，三、利用柱坐标和球坐标求重积分曲线在柱面坐标系下边界的两张曲面分别为投影区域表示为故V在柱坐标系下可表示为：三、利用柱坐标和球坐标求重积分三、利用柱坐标和球坐标求重积分三、利用柱坐标和球坐标求重积分例16计算三重积分其中为半球面[解]在柱坐标系下可表示为：故三、利用柱坐标和球坐标求重积分三、利用柱坐标和球坐标求重积分[又解]在球坐标系

6、可表示为故三、利用柱坐标和球坐标求重积分例17.求半径为a的球面与半顶角为的内接圆锥所围立体体积。[解]选坐标系使球面过原点，球心在z轴上与直角坐标为处，其方程为锥面顶点在原点，其轴与轴重合，三、利用柱坐标和球坐标求重积分在球坐标系下，球面方程和锥面方程为：它们所围立体可用球坐标表示为；所以，所求体积：三、利用柱坐标和球坐标求重积分三、利用柱坐标和球坐标求重积分三、利用柱坐标和球坐标求重积分例22计算积分，其中为椭球体[解]利用椭球坐标变换其Jacobi行列式三、利用柱坐标和球坐标求重积分三、利用柱坐标和球坐标求重积分在椭球坐标系可表示为故三、利用柱坐标和球坐标求重积分三、利用柱坐标和球坐标求

7、重积分解法1解法2