高中数学解题方法谈圆锥曲线三大难点解读.doc

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1、圆锥曲线三大难点解读　　高考数学试题圆锥曲线部分全面考查曲线定义、简单性质等基础知识，还对最值与定值（定点）、求参数范围（或值）、存在与对称等问题加大了考查力度．本文对各地考题归类整理，并探讨这三大难点的求解策略．　　难点一、最值与定值（定点）问题　　圆锥曲线的最值与定值（定点）问题一直是高考的一大难点．　　最值问题求解策略是：几何法与代数法，前者用于条件与结论有明显几何意义，利用图形性质来解决的类型；后者则将结论转化为目标函数，结合配方法、判别式法、基本不等式及函数的单调性等知识求解．　　定值（定

2、点）问题求解策略是：从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个点（值）与变量无关．也可以在推理、计算过程中消去变量，直接得到定点（或定值）．　　例1　（江西卷理21）如图1，椭圆的右焦点，过点的一动直线绕点转动，并且交椭圆于两点，是线段的中点．　　（1）求点的轨迹的方程；（2）在的方程中，令，，确定的值，使原点距椭圆的右准线最远，此时，设与轴交点为．当直线绕点转动到什么位置时，的面积最大？　　分析：求轨迹方程可用“设而不求”法，考虑的斜率是否存在，注意到与共线，得方程为；在第（2）问中，由、不难得到满足

3、要求的，为避免讨论直线的斜率是否存在，可设的方程为，再利用三角函数求出，的面积用纵坐标可表示为，当直线垂直于轴时，的面积最大．　　点评：本题集轨迹方程、最值问题、动态几何于一身，运用了点差法、分类讨论思想、二次方程根与系数的关系、三角函数的有界性、分离变量法、均值不等式法等，对各种能力的综合要求非常高．　　　　例2　（全国卷Ⅱ理21文22）已知抛物线的焦点为，是抛物线上的两动点，且．过两点分别作抛物线的切线，设其交点为．　　（1）证明·为定值；　　（2）设的面积为，写出的表达式，并求的最小值．　　简

4、解：（1），设点的横坐标为，则过点的切线分别为，，结合，求得为定值；　　（2），则的面积．　　难点二、求参数范围（或值）问题　　求参数范围问题的求解策略是：根据题意结合图形列出所讨论参数适合的不等式（组），利用线性规划得出参数的取值范围．有时候需要研究由题设条件列出的目标函数的值域来确定参数的变化范围．　　例3　（陕西卷理21）如图2，三定点、、；三动点满足，，，．　　（1）求动直线斜率的变化范围；　　（2）求动点的轨迹方程．　　解：（1）设，，．　　由，知，　　即同理　　∵，且，∴；　　（2）∵，

5、即．　　∴消去参数，得．　　∵，∴．　　故，．　　点评：本题主要考查平面向量基本定理、斜率、轨迹等知识，以及依靠不变量（定点坐标和不变的向量共线）与变量的关系相互转化，综合运用各种知识解决问题的能力．　　　难点三、存在与对称性问题　　存在与对称性试题是近几年高考大力推行改革与探索的结果．　　存在性问题的求解策略是：一般先假设某数学对象存在，按照合情推理或计算，得到存在的依据或导出矛盾，从而肯定或否定假设，有时也可由特殊情况探索可能的对象，作出猜想，然后加以论证．　　对称性问题的求解策略是：结合轴对称

6、或中心对称．考虑斜率与中点或向量的数量积（可避开斜率存在性的讨论），常用“设而不求”、待定系数法等方法解决问题．例4　（湖南卷理21）如图3，已知椭圆，抛物线，且、的公共弦过椭圆的右焦点．　　（1）当轴时，求的值，并判断抛物线的焦点是否在直线上；　　（2）是否存在的值，使抛物线的焦点恰在直线上？若存在，求出符合条件的的值；若不存在，请说明理由．　　解：（1）当轴时，，直线的方程是，点为或．　　代入抛物线方程，得．　　此时的焦点为，且焦点不在直线上；　　（2）设、，的焦点，弦的两端点在抛物线上，也在椭

7、圆上，所以，即．　　由（1）知，，故．　　直线的方程是，则．　　因在上，即两式相减，得，　　即．①　　又在上，即两式相减，得，即．②　　由①、②，得，　　解得或（舍）．　　由，得或．　　故满足条件的存在，且或，．　　点评：此题中抛物线的顶点不在原点，公共弦既要与抛物线联系，也要用到椭圆的焦点弦，特别是把存在与对称性结合在一起，使难度和运算量都大大增加，解决问题需要有很强的逻辑推理能力和运算能力．