高中数学解题方法谈 解读高考中的数形结合思想

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1、解读高考中的数学思想——数形结合篇　　数形结合是一种重要的数学思想方法，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动和直观来表明数之间的联系，即“以形助数”；二是借助于数的精确和严密来阐明形的某些属性，即“以数辅形”．这种思想方法在求解选择题和填空题的时候非常有用，对寻找解答题的求解思路也很有帮助．以下举例说明．　　一、用数形结合思想解决集合问题　　处理集合与集合的关系，借助图形进行直观思考，不仅可以使各集合之间的相互关系直观明了，而且也便于将各元素的归属确定下来，使抽象的集合问题，形象直观的得解．　　例1　设，则使成立的实数m的取值范围是_____．　　

2、解析：由于集合A，B都是点的集合，故可结合图形进行分析．集合A是圆上的点的集合，集合B是不等式表示的平面区域内的点的集合，要使，则应使圆被平面区域所包含（如图1），知直线应与圆相切或相离且在圆的下方，即．当直线与圆相切时有，解得，故m的取值范围是．　　评述：如果所给集合是点的集合，那么在研究它们之间的关系时，可以借助数形结合思想，将问题转化为函数图象或曲线之间的关系求解．　　二、用数形结合思想解决方程问题　　在研究某些方程的根的个数问题、根的大小问题以及根的取值范围等问题时，都可以将方程进行恰当的变形，通过引进函数，转化为两个或几个函数图象之间的关系来解决

3、．　　例2　已知函数，若是方程的两个根，则实数之间的大小关系是（　　）．　　（A）　　　（B）　　（C）　　　（D）　　解析：若令，显然函数的两个零点是a、b，函数的两个零点是，而函数的图象是由函数的图象沿y4轴向上平移两个单位得到的，结合图象可知，故应选（B）．　　例3　若方程恰有4个不同的实数根，则实数m的取值范围为_____．　　解析：将方程化为，构造函数，则方程恰有4个不同的实数根，亦即两个函数与的图象恰好有4个不同的交点，如图2，易知当4＜m＜0时方程有4个根．　　三、用数形结合思想解决函数问题　　我们学过的一些初等函数，如：正比例、反比例函数、

4、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等都蕴含着丰富的数形结合的思想，因此，在处理函数问题时，要充分联系函数图象．　　例4　（2006年辽宁高考题）已知函数，则的值域是（　　）．　　（A）　　　（B）（C）　　　（D）　　解析：，即等价于，因此在同一坐标系下分别画出函数的图象，在两个图象的每两个交点之间取位于下方的图象，就是函数的图象，从而容易得到的值域是，故答案为（C）．　　四、数形结合思想解决数列问题　　由于数列的通项公式和前n项和公式都可以看成n的函数，因此，许多数列问题可以借助函数的图象解决．　　例5　设是公差为d的等差数列，是前n项的和

5、，且，则下列结论错误的是（　　）．　　（A）　　　　（B）　　（C）　　　　（D）和均为的最大值4　　解析：可以把等差数列的前n项和看成是关于n的二次函数，结合图形可知，答案为（C）．　　例6　已知在等差数列中，，前n项和为，且．则当取到最值时，n等于（　　）　　（A）6　　（B）7　　（C）12　　（D）13　　解析：由于，所以，而，所以数列的公差d＜0，即数列是递减数列．则，如图3，可以把看成关于n的二次函数，其图象是一条抛物线，经过原点，开口向下，又，所以若设抛物线和x正半轴的交点为，则12＜m＜13，于是抛物线的对称轴为，因此当n=6时取到最大值，

6、选（A）．　　编者注：数列的有关问题用函数的观点来解决是一种较好的方法，但要注意，他们并非真正意义上的一次、二次函数！　　五、用数形结合思想解决不等式问题　　例7　如图4，请你观察图形以及图形中线段的位置关系及其数量关系，说明如何通过该图形来说明不等式成立．你还能构造另外的图形来说明这个不等式成立吗？　　解析：在圆O中，AB是一条直径，M是圆上任意一点，过M点作MC⊥AB交AB于C，令CA=a，CB=b，则容易得到，由于在Rt△MCO中，MO是斜边，MC是直角边，所以有；又当C点与O点重合时，有，故有．由于问题的本质上是在Rt△AMB中处理问题，所以可构造

7、类似的图形如图5所示（注：．）．　　评述：几何图形的直观解释和证明，真正体现了代数和几何的有机统一，可谓“无字的证明”．4　　六、用数形结合思想解决最值或范围问题　　例8　已知a、b、c是某一直角三角形的三边的长，其中c为斜边，若点（m，n）在直线ax+by+2c=0上，则的最小值等于_____．　　解析：令，则d表示点（m，n）与坐标原点之间的距离．由于点（m，n）在直线ax+by+2c=0上，所以d的最小值就是坐标原点到直线ax+by+2c=0的距离，即的最小值等于4．例9在区间上给定曲线，试在此区间内确定点t的值，使图6中的阴影部分的面积与之和最小．

8、　　解：面积等于边长为t与的矩形的面积去掉曲线与x轴、直线围成的面