中考中的数形结合思想

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1、年级初三学科1数学版本通用版内容标题中考中的数形结合思想编稿老师王占元【本讲主要内容】中考中的数形结合思想包括借助于直角坐标系研究数的关系，借助于数研究形的特征，从而简化计算。【知识掌握】【知识点精析】1.建立直角坐标系后，平面上的点和一对有序实数建立了一-•对应关系，从而为数形结合创造了条件。2.通过形加深对数的理解，通过数加深对形的认识，数形结合，化难为易。【解题方法指导】例1.如果直线y=kx+b经过一、二、四象限，则有()A.k>0,b>()B.k>(),b<0C.k<(),b<()D.k<(),b>()分析：由于一次函数的图象经过第一、二、四象限，可画出它的示意图，由

2、图彖的倾斜方向及它My轴交点的位置，确定k、b的范围。解:Vy=kx+b的图象经过一、二、以象限・・・可以画出它的示意图(如图所示)由图象看出，图象由左上方向右下方倾斜・・・kvO乂与y轴交点在x轴上方・・・b>0・•・选D评析：画出直线的示意图，从而使它的倾斜方向及与y轴交点的纵坐标清晰反映出来,由形的特征反映出了k、b的特征。例2.若点A(a,b)在第二象限，则一次函数y=ax+b的图彖不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析：T点A(a,b)在第二象限，「.avO,b>0,所以可価出y=ax+b的示意图，看出它经过哪三个象限，不经过笫几象限。解：•・

3、•点A(a,b)在笫二象限・・・avO,b>0・•・一次函数与y轴交点在x轴上方，且图象由左上方向右下方倾斜，画出它的图象的示意图，由图彖看出它不经过第三彖限故选C评析：由y=kx+b中k、b的特征，决定了图象的特征，画出示意图，使问题得解，体现了数形结合的思想在研究一次函数小的应用。例3.已知二次函数y^ax'+bx+c,且a<0,a-b+c>0,则一定有（）A.b2-4ac>0C.b2-4ac<0B.b2-4ac=0D.b2-4ac<0分析：由a<0,可知抛物线开口方向向下；由a-b+c>0,可知当x=-l时，抛物线与y轴交点位于x轴上方，通过画示意图可看岀它与x轴交点的个

4、数，从而确定判别式的值。解：对于y=ax2+bx+cVa<0,A抛物线的开口向下当x=-lU寸，y=a-b+cftla-b+oO可知抛物线与y轴的交点在x轴上方可画出抛物线的示意图rti图彖看岀抛物线与x轴冇两个交点令y=0,得ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根・•・△=（?-4ac>0故选A评析：由数的特征avO,a-b+c>0,决定了抛物线的开口方向及与y轴交点的坐标,从而为価抛物线的示意图作好准备，乂由抛物线与x轴交点的个数，求出一元二次方程判别式的符号，此题解题过程体现了数一形一数的数形结合思想。例4.已知：矩形ABCD中，AB=4,AD=3,若A点与原点重合，A

5、B边与x轴垂合,求矩形ABCD四个顶点的处标。分析：题目中只说A点打原点重合，AB边Lx轴重合，而没有指切它位于笫几彖限,因此应画出图象，分别加以考虑。解：若矩形ABCD在第一象限(如图)，则它的顶点的坐标分别为：A(0,0),B(4,0),C(4,3),D(0,3)AyD0(A)

6、c——>Bx若矩形ABCD在第二象限，则它的顶点的坐标分别为：A(0,0),B(-4,0),C(-4,3),D(0,3)若矩形ABCD在第三象限，则它的顶点的朋标分别为：A(0,0),B(-4,0),C(-4,—3),D(0,-3)若矩形ABCD在第四象限，则它的顶点的坐标分别为：A(0,0),B(

7、4,0),C(4,-3),D(0,~3)评析：结合图象所在的彖限画出图形，然后再确定点的坐标不易出错。【考点突破】【考点指要】数形结合思想是一种重要的数学思想，由于数和形反映了事物的两个侧面，因此常常'借助于形研究数，借助于数研究形，从而通过“数形联手”解决问题相得益彰。疋如华罗庚教授所指出的那样：数无形，少直观；形无数，难入微。正因为数形结合在解题屮的重要性，因此屮考试题中常常以各种各样的形式反映出它们之间的联系。我们应不断提高对数形结合的认识，提高解题能力。【典型例题分析】例1•已知：关于x的方程ax?—2x+1=0(a>0)的两个根满足x(<1,l

8、围。分析：如果用纯代数的方法去解，要考虑的因素较多。如a>0,A>0,(X

9、-l)(x2-l)<0,(X]-3)(X2-3)>0等，解法较繁。如果将一兀二次方程的问题转化为二次函数的问题去解决，便可以利用数形结合的思想去思考，通过图彖比较直观地求出a的取值范围。解：将方程ax?_2x+l=0(a>0)化为21x2——x+—=0(a>0)aa设y=x?x+丄(a>0)aa画出它的示意图，可以看出:当x=］时,yvO；当x=3时，y>()。分别将x=l,aa1--+-<0aa9--+丄〉0a-l