函数中的数形结合思想

《函数中的数形结合思想》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、函数解题方法与技巧之四函数中的数形结合思想思想方法概述1.数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2.数形结合思想解决函数问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根

2、的范围；(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；题型一数形结合思想在解决函数的最值问题中的应用例1设，是二次函数，若的值域是，则的值域是分析：本题为复合函数，相当于中的的值，结合函数的图象，可以求得的值域。-101xy解析：作出函数的图象如图所示，由图知当时，函数的值域[来源:学,科,网]为，而为复合函数，相当于中的的值，所以的值域是，故选B。【点评】：本题中的复合函数要转化为原函数和的信息，结合函数的图象更为直观地找到它们之间的

3、关系。而不必探究二次函数的解析式。例2对a,bR,记max

4、a,b

5、=函数f（x）＝max

6、

7、x+1

8、,

9、x－2

10、

11、(xR)的最小值是　　　。解析：由，故，其图象如右，则。【点评】：数学中考查创新思维，要求必须要有良好的数学素养，考查新定义函数的理解、解绝对值不等式，中档题，借形言数。例3求函数的最小值。解析：  的值是动点到两个定点A(0,2)与B(-1,0)的距离之和。由图知（图略），当且仅当P与B重合（即x=-1）时，【点评】：仔细观察方程的结构联想几何公示的形式是实现数到形转化的基础。本题型根据结构联想

12、到两点间的距离公式，从而实现数到距离的转化。题型二数形结合思想在解决方程的根的个数、不等式解集的问题中的应用例4(1)已知：函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2.则方程f(x)＝lgx解的个数是.(2)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为.变式训练1若定义在R上的偶函数满足，且当时，，则函数的零点个数是4变式训练2已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0

13、)cosx<0的解集是.变式训练3若满足，满足，则+=探究提高(1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．(2)解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免

14、繁琐的运算，获得简捷的解答．(3)函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值(值域)经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标．例5已知函数f(x)=,若0，【点评】：对于函数的图象要熟悉，利用数形结合解答函数的选择题比较形象直观，容易找到关系。已知定义在R上的奇函数，满足,

15、且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则-8-6-4-202468yxf(x)=m(m>0)【解析】:因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以,由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以答案:-8【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方

16、程问题,运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.题型三　数形结合思想在求参数、代数式的取值范围中的应用例6若直线y=2a与函数y=

17、-1

18、(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是______.解析当a>1时，如图①,只有一个公共点，不符合题意.当0