数形结合思想在函数中应用

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1、数形结合思想在函数中的应用（江苏省泰州市海军中学杨金宝225300）数形结合是数学研究的重要方法之一，是转化的数学思想的重要体现。数形结合包括代数问题几何解和几何问题代数解两个方面，前者初中阶段有解析法和构造几何图形法，后者包括方程法和函数法。本文从两方面探讨数形结合思想在初中数学中的应用。（一）数形结合的简介中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合是一个数学思想方法，包含“

2、以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻

3、找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。（二）函数数形结合的应用1、图形信息的获取，建立适当的代数模型。不少函数问题以图形的形式出现，图形中包含丰富的代数知识，仔细观察图形、图像、把握图形的特点、找出图形中的信息是解决问题的关键所在。例1：某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头。假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y（升）与接水时间x（分）的函数图像如图。

4、请结合图像，回答下列问题：（1）根据图中信息，请你写出一个结论；（2）问前15位同学接水结束共需要几分钟？（3）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟。”你说可能吗？请说明理由。分析：此类题型为图像信息问题，所有的信息由图像反映，图形是折线，分为两段，代数模型为：两个不同的一次函数。根据图形可得到点的坐标（0，96），（2，80），（4，72）。代表的意义为：到2分钟，锅炉内原有水96升，接水2分钟后，锅炉内的余水量为80升，接水4分钟，锅炉内的余水量为72升；2分钟前的水流量为每分钟8升等。利用待定系数

5、法的代数方法求出函数解析式，利用代数的精确性说理解题。解：（1）略（2）当0≤x≤2时，y=-8x+96（0≤x≤2），当x＞2时，y=-4x+88（x>2）　　∵前15位同学接完水时余水量为96-15×2=66（升），　　∴66=-4x+88，x=5.5答：前15位同学接完水需5.5分钟。（3）若小敏他们是一开始接水的，则接水时间为8×2÷8=2（分），即8位同学接完水，只需要2分钟，与接水时间恰好3分钟不符。若小敏他们是在若干位同学接完水后开始接水的，设8位同学从t分钟开始接水，当0＜t≤2　　则8（2-t）+4[3-（2-t

6、）]=8×2，16-8t+4+4t=16，　∴t=1（分），∴（2-t）+[3-（2-t）]=3（分），符合。　　当t＞2时，则8×2÷4=4（分）即8位同学接完水，需7分钟，与接水时间恰好3分钟不符。所以小敏说法是可能的，即从1分钟开始8位同学连续接完水恰好用了3分钟。2、构造图形、图像，建立合理的几何模型，利用图像法解决代数问题。例2：利用图像解x2－2x–１=0的一种方法是：画出抛物线y＝x2与直线ｙ＝2x＋１，两图像的交点的横坐标就是方程的解。（1）再给出一种利用图像求方程x2－2x–１=0的解。（2）已知函数ｙ＝x３的图

7、像，求x３－x–2＝０的解（保留两个有效数）分析：用代数的方法求一元二次方程的解是机械的方法操作，利用图形的直观性，代数的问题几何化，学生在动手画图和观察图形关系中经历“观察、实验、发现、猜想、归纳、验证”的过程，学生学习知识的能力和水平得到提高，数形结合的思想得到渗透。yx03、中考数学压轴题中的数形结合思想。压轴题的关系多，涉及的知识点广，关键是找到数与形的契合点，数形的契合点以等式方程为载体，图形的相似、全等、勾股定理、解直角三角形等是建立等式、方程的基础，灵活的采用几何问题代数化，代数问题几何化的数形结合思想，找出契合点。

8、例3：在直角坐标平面内，O为坐标原点,A点的坐标为(1,0)，点B在x轴上且在点A的右侧,AB=OA,过A、B做x轴的垂线，分别交二次函数y=x2的图像于点C、D。直线OC交BD于M，直线CD交y轴于H，记点C、D的横坐标分别为xC、xD，点H的纵