函数教学中-“数形结合”思想的运用及培养

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1、函数教学中“数形结合”思想的运用及培养清城区源潭镇第一初级中学高恩哲摘要：数形结合法是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题的一种常用的方法，它是数学学习的灵魂和生命力。数形结合法在中学数学中的应用非常广泛，是中学数学的一种重要的解题方法，借助数形结合的思想方法，加深学生对函数概念的理解；让学生直观地理解函数性质；加强知识间的横向联系。运用数形结合的思想方法可以使复杂问题直观化。使学生的抽象思维能力得到发展。关键词：函数教学运用培养数形结合思想引言函数是初中数学的重要内容之一，初中数学主要学习三种简单函数：一次函数、反比例函数、二次函数。学生主要存在的困难是对函数概念难以理解，对各

2、类函数中两个变量的变化关系感觉比较抽象，对函数关系的表示方法不能灵活转化。要解决学生学习中的难点，行之有效的方法就是在教学中从分运用数形结合的思想方法，在解决数学问题时，将抽象的概念与具体形象的联系和转化，使数与形的信息相互渗透，开拓了我们的解题思路，使许多数学问题简单化。通过“数”与“形”的相互转化，使复杂问题简单化、抽象问题具体化；下面就谈谈函数教学中如何培养和应用数形结合思想。一、数形结合思想的意义数形结合是初中数学的重要思想之一，华罗庚教授曾指出：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休。其应用大致分为两种情形：借助形的生动和直观来阐明数之间的联系，9即

3、以“形”为手段，“数”为目的，借助数的规范严密和精确来阐明形的属性。通过“数”与“形”的相互转化，使复杂问题简单化、抽象问题具体化。数形结合法在中学数学中的应用非常广泛，是中学数学的一种重要的解题方法，被认为是准确、快捷地解决数学问题的一把有效的钥匙，历年来都是中考、高考主要考察内容之一。因此，研究数形结合法解题对于中学数学教学有一定的指导意义。二、数形结合有利于初中生对函数概念的领会初中数学对函数的定义是：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。学生对于这一概念的

4、理解比较抽象而机械的，比如学生认识一次函数和反比例函数的概念后，学生从函数表达式可以判断两个变量间属于哪一种函数关系，但并不能透过表达式看到其中隐含的两数量间的变化关系的区别，面对新的问题是不会建立相应的函数模型解决问题，缺乏函数思想和观点，也就是对函数概念理解不全面。对函数概念理解模糊和机械的背诵函数的定义，学生不可能从本质上体会和理解数学的另一种重要思想---函数的思想。初中数学课程标准中对函数概念的要求是“了解常量、变量、函数的意义，会举出函数的实例以及分辨出常量与变量以及两者之间的关系。”课本通过大量实例，如一天的气温随时间的变化而变化，邮资随邮件重量的变化而变化，圆的面积随

5、半径的变化而变化，路程、速度和时间的关系等，得出“一个量随另一个量的变化而变化”的结9论，使学生感知函数问题在客观世界中是大量存在的，充分认识到建立函数概念的必要性。而借助数形结合加深学生对函数概念的理解。三、函数数形结合的应用1、图形信息的获取，建立适当的代数模型。不少函数问题以图形的形式出现，图形中包含丰富的代数知识，仔细观察图形、图像、把握图形的特点、找出图形中的信息是解决问题的关键所在。例1：某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头。假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y（升）与接水

6、时间x（分）的函数图像如图。请结合图像，回答下列问题：（1）根据图中信息，请你写出一个结论；（2）问前15位同学接水结束共需要几分钟？（3）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟。”你说可能吗？请说明理由。分析：此类题型为图像信息问题，所有的信息由图像反映，图形是折9线，分为两段，代数模型为：两个不同的一次函数。根据图形可得到点的坐标（0，96），（2，80），（4，72）。代表的意义为：到2分钟，锅炉内原有水96升，接水2分钟后，锅炉内的余水量为80升，接水4分钟，锅炉内的余水量为72升；2分钟前的水流量为每分钟8升等。利用待定系数法的代数方法求出函数解析

7、式，利用代数的精确性说理解题。解：（1）略（2）当0≤x≤2时，y=-8x+96（0≤x≤2），当x＞2时，y=-4x+88（x>2）　　∵前15位同学接完水时余水量为96-15×2=66（升），　　∴66=-4x+88，x=5.5答：前15位同学接完水需5.5分钟。（3）若小敏他们是一开始接水的，则接水时间为8×2÷8=2（分），即8位同学接完水，只需要2分钟，与接水时间恰好3分钟不符。若小敏他们是在若干位同学接完水后开始接水的，设8位同学从t分钟开始接