在函数教学中培养学生的数形结合思想

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1、在函数教学中培养学生的数形结合思想：在教学过程中如何培养学生的数形结合思想和方法，使其成为学生一种很好的学习工具，是一直思考探求的教学问题。将数形结合思想和方法贯穿于整个函数的教学过程中，本文探讨了充分准备阶段、初步认识阶段、基本形成阶段、综合巩固阶段的四阶段教学方式。　　关键词：数形结合思想和方法；充分准备阶段；初步认识阶段；基本形成阶段；综合巩固阶段；函数中的应用　　：G633.6：B：1672-1578（2010）11-0252-02　　　　波利亚说：“解题的成功要靠正确的解题思路的选择,要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒”。这说明解题过程就是不断地将未知转化为已知的

2、过程，在思维中构造出一种相关的数学对象，一种新的数学形式。在教学过程中如何培养学生数形结合思想和方法，使其成为学生一种很好的学习工具，是我一直思考探求的教学问题。将数形结合思想和方法贯穿于整个函数的教学过程中，取得了一定的效果，在教学中可分为四个阶段即：　　1、充分准备阶段　　坐标的建立，使数形结合成为现实。一方面我们可以“就数论形”，另一方面也可以“以形释数”，这两方面是数与形的对立统一。数形完美结合之灵魂就是：一组有序实数对（x，y）与平面直角坐标系中的点是一一对应的。因此，我们有时也把“有序实数对”与“平面上的点”不加区别，说坐标（x，y）为点（x，y）。所以，必

3、须让学生全面、细致、清楚地认识点在平面直角坐标系中的特点。因而在讲函数之前专门用一节课来讲授平面直角坐标系中的特点的性质（特点），为学生建立数形结合的思想打基础，过程如下：　　1.1首先画出一个平面直角坐标系。（要求作图规范）　　1.2提出以下问题让学生讨论：　　①点（x，y）在四个象限的特点？　　第一象限的点（x，y）满足x＞0且y＞0;　　第二象限的点（x，y）满足x＜0且y＞0;　　第三象限的点（x，y）满足x＜0且y＜0;　　第四象限的点（x，y）满足x＞0且y＜0;　　②让学生观察坐标轴上的点（x，y）的特点？　　[x轴上的点（x,0）,y轴上的点（0，y）]　

4、　③x轴将平面分为上下两部分时（x，y）的特点？　　[x轴上方的点（x,y＞0）,x轴下方的点（x，y＜0）]　　④y轴将平面分为左右两部分时（x，y）的特点？　　[y轴右边的点（x＞0，y）,y轴左边的点（x＜0，y）]　　⑤从左向右看，点有什么特点？　　[横坐标逐渐增大]　　⑥从下向上看，点又有什么特点？　　[纵坐标逐渐增大]　　⑦关于x轴、y轴、原点对称的点的特点？[如图1]　　通过讨论要让学生明白，点的位置不同则对应的数字也不同。我们知道平面是点的集合，也可以说是“有序实数对”的集合，意在使学生以数字的概念重新认识直角坐标系，为后面函数的学习奠定基础。　　2、初

5、步认识阶段　　本阶段应贯穿于函数的教学过程中。一次函数、二次函数的概念、图象、和性质是学习其它基本函数的基础，也是数形结合思想的中心内容。如果学生不能正确理解函数的真正涵义，对以后的学习将会变得举步维艰。所以，在讲函数时首先要让学生搞清楚以下几个方面的问题：　　2.1函数自变量及函数值的真正含义。函数的定义是在某一变化过程中两个变量之间的关系，即当x在某一范围内取每一个值时，按照对应法则都有唯一确定y的值与之对应，那么y就叫x的函数，x为自变量。　　函数值，即当自变量x=a时对应的y的值；如函数y=2x-3,则当x=3时对应的函数值y=3，对于给定的一个函数，所有函数值的

6、集合就是函数的值域。定义域、值域、对应法则是函数的三要素。　　2.2突出图象法的功能。函数的三种表示法是解析法、列表法、图象法。在用描点法作出函数y=x2+2x-3图象的过程中具体地说明函数的三种表示方法是“同一变化过程中两个变量关系”的三种不同的表现形式，而图象法则是形成数形结合思想的灵魂，在教学中要求学生有较强的函数绘制能力和认知能力。　　以函数y=x2+2x-3图象为例，让学生分析如下问题：　　①观察图象所在范围；　　②观察此函数有没有最大值和最小值。　　分析：①图象确定则函数对应法则确定；如图[2]从图象上任一点向x轴作垂线，得到自变量的范围；再向y轴作垂线，

7、得到函数值y的范围；函数的三要素都直观的得以展现。　　②[如图3]过（-4，0）点作x轴的垂线与图象交于点A，则点A（-4，5）。在过（-1，0）点作x轴的垂线与图象交于点B（-1，-4）。观察当-4≤x≤-1时对应函数图象AB段，图象最高点A的纵坐标是函数在-4≤x≤-1时的最大值，图象最低点B的横坐标是函数在-4≤x≤-1时的最小值。　　③让学生思考当时有没有最值？　　由此培养学生“从形到数”“从数到形”的转化思维，具体体现数形结合过程，以达到对数形结合思想方法的初步认识和掌握，同时也为讲函数的性质打下基础。　　3、基本形