中考中的数形结合思想.doc

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1、年级初三学科数学版本通用版内容标题中考中的数形结合思想编稿老师王占元【本讲主要内容】中考中的数形结合思想包括借助于直角坐标系研究数的关系，借助于数研究形的特征，从而简化计算。【知识掌握】【知识点精析】1.建立直角坐标系后，平面上的点和一对有序实数建立了一一对应关系，从而为数形结合创造了条件。2.通过形加深对数的理解，通过数加深对形的认识，数形结合，化难为易。【解题方法指导】例1.如果直线经过一、二、四象限，则有（）A.k>0，b>0B.k>0，b<0C.k<0，b<0D.k<0，b>0分析：由于一次函数的图象经过第一、二、四象限，可画

2、出它的示意图，由图象的倾斜方向及它与y轴交点的位置，确定k、b的范围。解：∵的图象经过一、二、四象限∴可以画出它的示意图（如图所示）由图象看出，图象由左上方向右下方倾斜∴k<0又与y轴交点在x轴上方∴b>0∴选D评析：画出直线的示意图，从而使它的倾斜方向及与y轴交点的纵坐标清晰反映出来，由形的特征反映出了k、b的特征。例2.若点A（a，b）在第二象限，则一次函数的图象不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析：∵点A（a，b）在第二象限，∴a<0，b>0，所以可画出y＝ax＋b的示意图，看出它经过哪三个象限，不经过

3、第几象限。解：∵点A（a，b）在第二象限∴a<0，b>0∴一次函数与y轴交点在x轴上方，且图象由左上方向右下方倾斜，画出它的图象的示意图，由图象看出它不经过第三象限故选C评析：由y＝kx＋b中k、b的特征，决定了图象的特征，画出示意图，使问题得解，体现了数形结合的思想在研究一次函数中的应用。例3.已知二次函数，则一定有（）A.B.C.D.分析：由a<0，可知抛物线开口方向向下；由，可知当时，抛物线与y轴交点位于x轴上方，通过画示意图可看出它与x轴交点的个数，从而确定判别式的值。解：对于∵a<0，∴抛物线的开口向下当时，由可知抛物线与y

4、轴的交点在x轴上方可画出抛物线的示意图由图象看出抛物线与x轴有两个交点令y＝0，得有两个不相等的实数根∴故选A评析：由数的特征a<0，，决定了抛物线的开口方向及与y轴交点的坐标，从而为画抛物线的示意图作好准备，又由抛物线与x轴交点的个数，求出一元二次方程判别式的符号，此题解题过程体现了数→形→数的数形结合思想。例4.已知：矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，若A点与原点重合，AB边与x轴重合，求矩形ABCD四个顶点的坐标。分析：题目中只说A点与原点重合，AB边与x轴重合，而没有指明它位于第几象限，因此应画出图象，分别加以考虑。解：若矩

5、形ABCD在第一象限（如图），则它的顶点的坐标分别为：A（0，0），B（4，0），C（4，3），D（0，3）若矩形ABCD在第二象限，则它的顶点的坐标分别为：A（0，0），B（－4，0），C（－4，3），D（0，3）若矩形ABCD在第三象限，则它的顶点的坐标分别为：A（0，0），B（－4，0），C（－4，－3），D（0，－3）若矩形ABCD在第四象限，则它的顶点的坐标分别为：A（0，0），B（4，0），C（4，－3），D（0，－3）评析：结合图象所在的象限画出图形，然后再确定点的坐标不易出错。【考点突破】【考点指要】数形结合思想是一种

6、重要的数学思想，由于数和形反映了事物的两个侧面，因此常常借助于形研究数，借助于数研究形，从而通过“数形联手”解决问题相得益彰。正如华罗庚教授所指出的那样：数无形，少直观；形无数，难入微。正因为数形结合在解题中的重要性，因此中考试题中常常以各种各样的形式反映出它们之间的联系。我们应不断提高对数形结合的认识，提高解题能力。【典型例题分析】例1.已知：关于x的方程的两个根满足。求a的取值范围。分析：如果用纯代数的方法去解，要考虑的因素较多。如a>0，△>0，，等，解法较繁。如果将一元二次方程的问题转化为二次函数的问题去解决，便可以利用数形结

7、合的思想去思考，通过图象比较直观地求出a的取值范围。解：将方程化为设画出它的示意图，可以看出：当时，y<0；当x＝3时，y>0。分别将x＝1，x＝3代入到中，得∴因此a的取值范围为：评析：此题借助于数形结合的方法，由开口方向，和x轴交点的位置，不难画出抛物线的示意图，结合图象不难看出当x＝1时，及x＝3时y的正负，从而求出a的取值范围。例2.已知关于x的一元二次方程的两个实数根中，一个大于2，另一个小于2，求k的取值范围。分析：由于条件中给出了两个实数根的范围，因此可将方程转化为二次函数，借助于图象加以表示。解：设当x＝2时，（1）当

8、时，抛物线的开口向上，画出它的示意图（如图1）由图象看出：解得1