《数形结合思想在高考中的应用举例》

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1、数形结合思想在高考中的应用举例数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，也就是对题目中的条件和结论既分析其代数含义又挖掘其几何背景，在代数与几何的结合上寻找解题思路。最常用的是以形助数的解题方法，其实质就是对图形性质的研究，使要解决的数的问题转化为形的讨论，实现“由一种代数形式转化为几何形式”的数学化归。例1・函数/(x)=2

2、v+,

3、-

4、-x-11,求使/(x)>2a/2的x的取值范围。解：/(x)>2V2,也即

5、x+1

6、-

7、ji-1

8、>

9、o设函数g(x)=x+\-x-1

10、=J2x(-1D

11、Jh(x)=—2如图1,由g(x)、h(x)的图象和g(x)>h(x),可得x>—o4评析：数与形之间存在着密切的联系，很多代数问题若能转化成图形，则思路和方法可以从图形中直观地显示出来。数形结合，简明直观，作出图表，一目了然。例2.已知。>0,函数f(x)=(x2-2ax)exf设f(x)在［一1,1］上是单调函数,求a的取值范围。解：fx)=ex[x2+2(-a)x-2a].由/(x)在[一1,1]上是单调函数，知g(x)=x2+2(-a)x-2a在[一1,1]上有g(x)>0恒成立，或g(x)<0恒成立。(1)如图2,g(

12、x)>0恒成立时(xg[-1,1]),有三种情况：图2®A<0；g(—i)no®K>o均无解。(2)如图3,g(x)<0恒成立时(xg[-1,1]),有U(-D<04综上得呜。评析：本题融函数、导数、不等式为一体，在网络交汇处设计的试题，通过借助于图形的直观性，以图助算，就可避免烦琐的计算。因此，以数形结合为切入点，可化难为易，让抽象的问题转化得直观明白。例3.如图4,在RtAABC中，已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为―>—>―>—>中点，问P0与BC的夹角&取何值时•C0的值最大？并求出这个最大值。图4解：以直角顶点A为坐

13、标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图5所示的平面直角坐标系。设

14、AB

15、=c,

16、AC

17、=b,图5(0,0),B(c,0),C(0,b),且

18、PQ

19、=2a,

20、BC

21、=ao设点P的坐标为（x,则Q(—x,—y)所以BP=(x-c,y),CQ=(一兀，-y-b),BC=(一c,b),PQ(—2兀，—2y)所以詡•CQ=(x-c)(-x)^-y(-y-b)=-(x2+y2)+ex-by-9-》m斗八PQ•BCex-by因为COS&二二T—PQ\BCa2所以ex-by=a2cos0-y-*即3P•CQ=-a2+a2cosO―9—》故当c

22、os&=1,即&=0时（P0与BC方向相同）,BP•玄最大，其最大值为0。评析：平而向量具有一套良好的运算性质，它可以把几何图形的性质转化为向量的坐标运算，实际了“形”与“数”的结合，使晦涩的图形问题，通过规则的代数运算而获得解决。