数形结合应用举例.doc

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1、数形结合应用举例数形结合既是一种重要的数学思想，也是一种常用的数学方法，根据条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何背景。通过数形结合，数形转化寻找最佳解题思路，使问题得到解决。一、求方程根的问题例1：方程有两个解，求的取值范围。解析：在同一坐标系内作出函数，的图象，如图所示，当直线在两条直线之间平行移动即可。由得，∴。练习：1、[2009年重庆卷]，已知以T=4为周期的函数。其中，若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（）。A、B、C、D、2、讨论方程，（为常数）的解的个数。例2：设、分别是方程和的实根，则=。解析：在同一坐标系中作出函数，

2、，，的图象。记A、B分别是与，与的交点，即A（，），（，），又∵与关于对称，∴由，得。又∵直线与直线垂直，∴，。∴。5练习：1、[2009年辽宁卷]，若满足，满足，则（）A、B、C、D、42、[2009年湖北部分重点中学二联]已知A、B、C均为正数，且满足，，，则、、的大小关系为（）A、＜＜B、＜＜C、＜＜D、＜＜二、解决不等式的问题例3：关于的不等式的解集为φ，则的取值范围为（）A、（0，1）B、（-1，0）C、（1，2）D、（-∞，-1）解析：由题意知恒成立。表示数轴上的点到1和2的距离和，由图可知：，∴由得，选B。例2：解不等式。解析：在同一坐标系中

3、作出函数，的图像。由得。函数的图像在直线上方各点的横坐标集合就是所求不等式的解集，即。练习：1、[2009年天津卷]已知函数若，则实数的取值范围是（）A、(-∞，-1)∪(2，+∞)B、（-1，2）C、（-2，1）D、(-∞，-2)∪(1，+∪)3、[2008全国卷Ⅰ]设奇函数在上为增函数，且=0，则不等式的解集为（）A、(-1，0)∪(1，+∞)B、(-∞，-1)∪(0，1)C、(-∞，-1)∪(1，+∞)D、(-1，0)∪(0，1)54、已知＞＞＞，比较，，的大小。5、设函数，其中，试解关于的不等式。三、解决线性规划问题：例4：[2008年陕西卷]已知

4、实数满足，如果目标函数的最小值为，则实数m=（）A、7B、5C、4D、3解析：作出直线，，。由图可知：，在轴上截取的最大值，应是过直线与的交点，所以与的交点（2，3）应在直线上，即。练习：1、[2008年安徽卷]，若为不等式组表示的平面区域，则当从连续变化到1时，动直线扫过中的那部分区域的面积为。2、[2008年山东卷]设二元一次不等式组所表示的区域为，使函数（且）的图象过区域的取值范围为（）A、B、C、D、3、已知点满足约束条件，点（），为坐标原点，则的取值范围为。四、解决有关值域问题：例5：[2009年襄樊元月调考]已知函数的定义域为5，部分对应值如下

5、表：为的导函数，函数的图象中图所示，若两正数满足，则的取值范围是。解析：由的图象可知：时，，单调递增；时，，单调递减。得约束条件，画出可行域：而表示可行域内（不包含边界）的点，与点所成直线的斜率。，，∴。例6：[2008年辽宁卷]，已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A、B、C、D、解析：如图作出抛物线，由抛物线定义知：，所以求最小，就是求抛物线上一点到点、点的距离之和最小，连即是所求：。练习：1、求函数的最小值。2、求函数的值域。3、已知（）为一定点，为双曲线的右焦点，在双曲线右支上移动，最小值为，此时的

6、坐标为。54、若满足条件，则的最小值为（）A、B、C、D、5、[2009年宁夏·海南]用表示三个数中最小值设，则的最大值为（）A、4B、5C、6D、76、[2009年浙江]已知为常数，函数在区间上的最大值为，则=。通过以上例题可以看出，数形结合的主要途径是：①“形中觅数”，根据图形寻求数量关系，将几何问题代数化，以数助形，使问题获解。②“数”上构“形”，本身是代数问题，但通过观察可发现它具有某种几何特征，可以发现数与形之间的新关系，从而将代数问题化为几何问题，使问题获解。5