数形结合思想在集合学习中的应用举例.pdf

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1、２０１２年第３期数形结合思想在集合学习中的应用举例■邹爱英集合是高中数学的第一个概念，也是很多数学概念建立ｌ：ｙ＝ｋｘ－２及直线ｌ上侧的平面区域，经过定点Ｑ（０，－２）作的基础，学好集合非常重要．对集合含义、交并补运算的考查单位圆的切线ｌ１、ｌ２，Ｐ是ｌ２上的切点，易得∠ＯＱＰ＝３０°，所是检验掌握集合知识方法的关键．通过数轴、平面直角坐标系以ｌ２的倾斜角为６０°，因为ＡＢ，所以ｋ∈［ｋｌ，ｋｌ］，即ｋ∈１２以及韦恩图表示集合，利用数形结合思想方法使得集合问题［－３槡，槡３］．直观生动好理解，能够得到事半功倍的成效．在集合学习中数３．利用韦恩（ｖｅｎｎ）图判断抽象集合间包含或相

2、等的关系形结合思想方法有着广泛的应用，举例说明如下．或求有穷集合所含元素或其个数问题．１．利用数轴解决不等式解集的表示问题或判断一元不等例４Ｍ，Ｎ为集合Ｉ的非空真子集，且Ｍ，Ｎ不相等，若式所含参数取值范围问题．Ｎ∩ＣＩＭ＝Φ，则Ｍ∪Ｎ＝（）．例１已知Ａ＝｛ｘ｜ａ≤ｘ≤ａ＋３｝，Ｂ＝Ａ．ＭＢ．ＮＣ．ＩＤ．２｛ｘ｜ｘ－４ｘ－５＞０｝．（１）若Ａ∩Ｂ＝Φ，求ａ的取值范围；（２）若分析：利用韦恩图可以判断集合Ｍ、Ｎ间的包含关系．Ａ∪Ｂ＝Ｂ，求ａ的取值范围．解：由Ｎ∩瓓ＩＭ＝可知，集合Ｎ与瓓ＩＭ没有公共元素，分析：在数轴上标出集合Ａ、Ｂ所含元素的范围，利用Ａ、利用韦恩图可知ＮＭ，所以

3、Ｍ∪Ｎ＝Ｍ，答案选Ａ．Ｂ的位置关系确定参数ａ的取值范围．解：（１）Ｂ＝４６｛ｘ｜ｘ＜－１，或ｘ＞５｝，利用数轴得到满足Ａ∩图１ａ≥－１，图５Ｂ＝Φ的不等式组｛所以实数ａ的取值范围是ａ＋３≤５，例５已知全集Ｓ＝｛不大于３０的质数｝，Ａ，Ｂ是Ｓ的两｛ａ｜－１≤ａ≤２｝．个子集，且满足Ａ∩（瓓ＳＢ）＝３｛｝，５，（瓓ＳＡ）∩Ｂ＝（２）由Ａ∪Ｂ＝Ｂ知ＡＢ，利用数轴得到满足Ａ∪Ｂ＝Ｂ｛７，１９，２３｝，（瓓ＳＡ）∩瓓（ＳＢ）＝２｛，１７，２９｝，求集合Ａ和集合的不等式ａ＋３＜－１，或ａ＞５，所以实数ａ的取值范围是Ｂ．｛ａ｜ａ＜－４，或ａ＞５｝．分析：从韦恩图中可看到全集Ｓ是由互不重叠的Ⅰ

4、：（瓓ＳＡ）∩瓓（ＳＢ）、Ⅱ：Ａ∩瓓（ＳＢ）、Ⅲ：Ａ∩Ｂ、Ⅳ：（瓓ＳＡ）∩Ｂ四部分构成．解：因为Ｓ＝｛２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，２３，２９｝，所以Ａ∩图２图３Ｂ＝｛１１，１３｝，Ａ＝３｛，５，１１，１３｝，Ｂ＝７｛，１１，１３，１９，２３｝．２．利用平面直角坐标系作出方程的曲线解决公共点问题或二元不等式所含参数取值范围问题．例２设Ａ＝｛（ｘ，ｙ）｜４ｘ＋ｙ＝６｝，Ｂ＝｛（ｘ，ｙ）｜３ｘ＋２ｙ＝７｝，Ｃ＝｛（ｘ，ｙ）｜４ｘ＋ｙ＝３｝，求Ａ∩Ｂ，Ａ∩Ｃ．分析：在平面直角坐标系中，作出直线ｌ１：４ｘ＋ｙ＝６，ｌ２：３ｘ＋２ｙ＝７，ｌ３：４ｘ＋ｙ＝３，则ｌ１与ｌ２相交于一点

5、，ｌ１／／ｌ３，可知图６Ａ∩Ｂ只有一个元素，Ａ∩Ｃ没有任何元素．例６某班有３６名同学参加书法、绘画、摄影课外兴趣小４ｘ＋ｙ＝６，ｘ＝１，４ｘ＋ｙ＝６，组，每名同学至多参加两个小组，已知参加书法、绘画、摄影小解：由｛得而无解，所以Ａ３ｘ＋２ｙ＝７，｛ｙ＝２，｛４ｘ＋ｙ＝３，组的人数分别为２６，１５，１３，同时参加书法和绘画小组的有６∩Ｂ＝｛（）１，２｝，Ａ∩Ｃ＝．人，同时参加绘画和摄影小组的有４人，则同时参加摄影和书例３已知集合Ａ＝法小组的有人．｛２２＝１｝，Ｂ＝（ｘ，ｙ）｜ｘ＋ｙ分析：利用韦恩图把多个复杂条件对号入座地同时呈现｛（ｘ，ｙ）｜ｋｘ－ｙ－２≤０｝，其中ｘ，出来，便于

6、解决问题．ｙ∈Ｒ，若ＡＢ，则实数ｋ的取值解：设同时参加摄影和书范围．法小组的有ｘ人，如图７所示，分析：在平面直角坐标系中，有（２０－ｘ）＋ｘ＋９－（ｘ）＋１５作出集合Ａ中的定圆和集合Ｂ＝３６，所以ｘ＝８．中过定点（０，－２）的动直线，由Ａ即同时参加摄影和书法小图４Ｂ知要解决本题还必需作出动组的有８人．直线的边界：过定点（０，－２）的定圆的两条切线．作者单位：山东省滨州市解：集合Ａ中的点构成单位圆，集合Ｂ中的点构成直线滨城区第一中学图７