数形结合思想在初中数学中的应用

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1、数形结合思想在初中数学中的应用【摘要】数形结合思想在初中数学中应用非常广泛，数和形常常结合在一起,通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而有助于寻求解决问题的方法。　　【关键词】数形结合思想；数量关系；数学图形　　　　数和形是数学中最基本的研究对象，数学语言具有抽象性而数学图形具有直观性。在学习和实际应用过程中，应用数形结合思想观察问题、分析问题、解决问题。所谓数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系和直观的几何图形、位置关系结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合，可以使

2、复杂问题简单化，抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，从而起到优化解题途径的目的。下面谈一谈数形结合思想在初中数学中应用。　　1借助“由形到数”精确判断图形位置　　苏科版八年级上册二元一次方程组的图象解法，本节主要体现方程与函数的联系。在实际运用中，我们很难从图象中直接、准确读出交点坐标。此时，常会把两一次函数两函数关系式联立成二元一次方程组，通过求解二元一次方程组可以得出两函数图象的交点坐标。　　例如，观察右图求出它们的交点坐标。　　本题很难从图中直接读出交点坐标，由图可得直线l1的经过　　点(

3、-1,0)和(0,1)，所以函数关系式为y=x1；直线l2的经过　　点(2,0)和(0,2)，所以函数关系式为y=-x2；联立函数关系式，得二元一次方程组，求解得，所以两直线的交点坐标为。　　本题仍可以继续拓展，观察图象请说出当x取值时，y1＞y2；当x取何值时，y1＜y2？解决此问两直线交点坐标是关键，观察图形明显可以看出当时，直线l1在直线l2的上方，所以y1＞y2；当时，直线l1在直线l2的下方，所以y1＜y2。“由形到数”直观形象对图形的位置关系，函数值的大小关系可以作出准确判断。　　2“由数

4、到形”形象定性抽象内容　　数学中不少数量及其关系比较复杂、抽象我们难以把握，由于图形比较直观、形象，能够表达较多的思维，对于此类问题的解决起着定性的作用。如果能把“数”对应的“形”找出来，把数量问题转化为图形问题，方便解决问题。　　2.1“由数到形”在不等式中的应用　　苏科版初中数学教材中不等式组解集的确定，常把两不等式的解集在数轴上表示出来，根据图形找出两不等式的解集的公共部分，从而确定原不等式组的解集。　　例如，解不等式组　　由（1）可得x＜4；由（2）可得x-1＞-1在数轴上表示出不等式（1）、

5、（2）的解集为：　　根据不等式组解集的意义，可以知道原不等式组的解集为-1＜x＜4。　　2.2“由数到形”在勾股定理验证中的应用　　勾股定理是初中数学中重要的定理，主要内容是：在任一直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。定理及逆定理的应用非常广泛，定理的证明方法到目前为止大约有三百多种，其证明的原理大多运用图形的面积来证明，即设计合适的图形并根据图形的面积相等关系，得出直角三角形三边的数量关系。　　例如，早在公元3世纪，我国数学家赵爽就利用4个全等的直角三角形证明勾股定理，此图被称为“弦图”，

6、如右图。证明过程是：　　大正方形可以看作是边为c正方形，其面积为c2；　　大正方形面积也可以由4个全等的直角三角形面积与中间小　　正方形面积和：即为。　　所以有，c2=，化简得：a2b2=c2，从而验证勾股定理。　　勾股定理的验证过程实质就构造图形验证数量关系相等，在勾股定理及其逆定理的应用过程当中，也常会运用此思想，构造出直角三角形，然后借助勾股定理解三角形，从而解决实际问题，都体现了为证明数量相等或求解某一个数时，先构造图形再寻求解决问题的方法。　　3“数形结合”珠联璧合、相应生辉　　在有些数学问

7、题中，不仅要用到由“形”的直观变为“数”的严密，还要考虑到由“数”的严密联系到“形”的直观，运用“数形结合”思想解决问题。　　初中数学中数轴和平面直角坐标系无不体现“数形结合”的思想。数轴上的点与实数一一对应，即任何一个实数在数轴上都找到一个点与之对应；相反，数轴上任何一个点都表示一个实数。同样，平面内的点与一对有序实数对一一对应。　　在图形运动类问题更能体现“数形结合”的思想，例如，如图1，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，DC∥AB，动点P从B点出发，沿折线B→C→D→A运动，设点P运动的路程为

8、x，△ABP的面积为y，如果关于x的函数y的图像如图2所示，求△ABC的面积。　　　　题中点P的运动影响△ABP的面积的变化，由图2可知当点P运动长度为4时，△ABP的面积将不再发生变化，所以BC=4，当点P再运动5时，△ABP的面积将不断减小，所以CD=5，当点P第二次运动5时，此时△ABP的面积为0，所以AD=5，根据梯形性质可以得出梯形的底边为8，所以△ABC为16，故选B。本题中通过点的运动和三角形面积的变化求出图形线段长度，即“由形到数”，求出