浅议数形结合思想在初中数学教学中应用

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1、浅议数形结合思想在初中数学教学中应用　　数形结合思想，就是根据数与形之间的一一对应关系，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，优化解题途径的思想。在初中教学中经常用到数形结合思想。如有理数内容体现着数形结合思想。数轴的引入是有理数内容体现数形结合思想的一个重要方面。在数学教学中，如何运用好数形结合相思去解决常见数学问题，笔者认为可从如下几方面来渗透数形结合思想。一、运用图形的直观解决数量关系由

2、于数和形是一种对应，有些数量比较抽象，我们难以把握，而形具有形象，直观的优点，能表达较多具体的思维，起着解决问题的定性作用，因此我们可以把数的对应——形找出来，利用图形来解决问题。例1.分解因式：这个分解因式的题目非常简单，是同学们非常熟悉的公式——平方差公式：，有时也就是直接用这个公式来套用进行分解因式的。但是有不少学生却不能理解这个公式？有些同学虽说理解，但也是从整式乘法公式6的逆用来理解的，相当于死记硬背来掌握的。理解平方差公式，我们可以从几何图形出发来理解。如左图，在边长为a的正方形纸板中剪去一个边长为b

3、的小正方形后，剩余图形的面积是（），把左图的剪下小正方形后的剩余图形拼在一起，得到右图，是一个长方形，其长为（a+b），宽为（a-b），面积为（a+b）（a-b），所以可以得到。其实除了理解平方差公式的意义可以用几何图形面积来帮助分析外，还有完全平方公式等其它的整式乘法公式或分解因式公式，可以用几何图形面积来帮助理解其意义。例2、方程的正根的个数为（）。A、3B、2C、1D、0分析：直接化分式方程为整式方程，确定方程根的个数，是十分困难的事，结合问题特征，要将“数”转达化成“形”去研究。解：把方程化为抛物线y1=

4、与双曲线y2=，分别画出草图，在x>0的范围内，两函数图象有两个交点。通过这种“数”与“形”的转化，使本来很难解的题目，变得解起来得心应手了。解此类题目，主要是我们是否能够把代数问题转化为几何问题，把握得很好。也就是说，这些代数问题怎样转化到几何性质问题上来，才是解题的关键。6二、利用数量关系揭示几何图形的性质虽然形有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，特别对于较复杂的“形”，不但要正确的把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示

5、成“数”的形式，进行分析计算。例3、等腰三角形的面积为2，腰长为，底角为，求。分析：本题是斜三角形问题，因此要作高化斜三角形为解直角三角形。但是本题又没有给出三角形的形状，所以在画高时就要考虑高在三角形内、三角形上和三角形外三种情况，这是一种解题方法，但非常麻烦，我们可以考虑用数形结合的思想来解决本题，用数学中的方程或方程组来解。解：过A点作AD⊥BC于D，如右图∵△ABC是等腰三角形，面积为2，腰长为∴BD=DC设BD=x，AD=y在Rt△ABD中，①在△ABC中，②由①、②得：该方程组可化为如下两个方程组：分

6、别解之得：∵BD、AD均为正数6∴取∴本题应用了数形结合思想，“形题数解”往往可以使求解思路新颖，而且几何中的多解问题可以转化为方程或方程组的多解问题。例4、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下的规律，拼成若干个图案：（1）第四个图案中有白色地砖_______块；（2）第n个图案中有白色地砖_______块。分析：本题是借助于图形中的数量关系来解决问题，第一个图案中有白色地砖6块，第二个图案中有白色地砖10块，第三个图案中有白色地砖14块，根据前面的分析，很快就能判断出第四个图案中有白色地砖18块，并且每个图案比

7、前一个图案增加4个白色地砖，所以第n个图案中有白色地砖4n+2块。北师大版七年级数学上册第三章“字母表示数”，本章的不少小节的内容是探索几何图形（或几何图案）的数量关系，教学中，老师指导学生会用代数式表示几何图形（或几何图案）的数量关系，老师若注重了数形结合思想方法的渗透，会使学生很快领悟几何图形（或几何图案）的规律，从而找出其中的数量关系。三、将数量关系和图形的性质，在解题中串连结合使用6就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特性，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并揭

8、示隐含的数量关系。数形结合的基本思想方法，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形的性质问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案。不久前在给学生中考复习过程中，遇到了这样的一个题目：例5、在一次数学活动中，小明为了求的值，他设计了如下图边长为1