数形结合思想在初中数学中的解题应用

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1、数形结合思想在初中数学中的解题应用　　【摘要】数形结合思想是一种重要的数学思想。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的，有些数量关系直观化，形象化，简单化。而图形的一些性质借助于数量的计量和分析，得于严谨化。　　【关键词】数学思想；数形结合；以形助数；以数解形　　数形结合的思想方法是数学教学内容的主体之一。数与形的结合可以使某些抽象的数学问题直观化，能够把抽象思维转化为形象思维，有助于把生活实际问题转化为数学问题

2、，建立数学模型，从而把实际的问题迎刃而解，起到画龙点睛的作用。　　在新课改后，在初中数学教学中应用到数形结合思想进行教学的内容占的比例较大。主要体现在：①实数与数轴上的点的对应关系②方程与方程组③不等式与不等式组④函数问题⑤概率与统计⑥图形的相似及坐标，下面我们就通过具体的例子来加以说明这一直观的数学思想方法的具体应用　　1.实数与数轴　　1.18实数包括有理数和无理数。而有理数和无理数都可以在数轴上表示，反之数轴上的每一个点都对应着某一个有理数或无理数。所以实数与数轴上的点是一一对应的关系，这时若要向学生解释一一对应的关系，可以采用数形结合的方法呈现给学生。　

3、　案例一：如图（1）　　在数轴上除了有-1，-2，0，1，2，…有理数之外还存在着无理数，如以坐标圆点为顶点，以单位“1”的长度作正方形，则对角线的长度为，再以0点为圆心，对角线的长为半径画弧线与数轴交于点B，所以B点表示的数就是无理数，以此类推，我们还可以得到，-，…等更多的无理数，因此有理数和无理数就把数轴上的所有点填满了，所以实数与数轴上的点是一一对应的关系。并且数轴上的数从左到右逐渐增大　　案例二：如图（2）在数轴上：　　分析：在案例二的第二个问题中，是把形化为数，这是解决此类问题的突破口，也就是解题的瓶颈，只有利用形与数的完美结合与互化才能解决此类问题

4、，体现了数形结合的思想价值。　　1.2相反数与绝对值　　相反数是指只有符号不同的两个数互为相反数，而绝对值是指一个数离开坐标原点的长度单位（注0的相反数与绝对值都是它本身），在相反数与绝对值的数学过程中，如果采用数形结合的方法进行教学，那么取得的教学效果是事半功倍。如图（2）中，1的相反数是-1，-2的相反数是2，的相反数是-，4的相反数是-4，　　?1?=1?-2?=2?-3?=3　　由此我们还可以得出结论：①数轴上的数从左到右逐渐增大，②对于负数绝对值越大的数反而越小，③8负数的绝对值等于它的相反数，正数的绝对值等于它本身，④互为相反数的两个数绝对值相等。在

5、案例一，案例二中，如果我们只采用“数”的方法讲解，而不采用“数与形”结合的方式，学生是很难理解的，只有把数与形互相结合起来，真正做到直观化，形象化，学生就能够一目了然，由此我们还可以把问题由特殊化转为一般化，就可以很轻松的得到结论　　解。反之，如果在平面直角坐标系中，　　知道了两条直线L1和L2的交点坐标，也可以根据交点坐标得出相应的方程组。　　3.解决一元一次不等式（组）和一次函数结合的问题　　在近几年中，考察不等式的题型在原有的填空题，选择题，解答题，求不等式组的解集的基础上有了新的突破。特别是在不等式与方程结合的实际方案优化设计问题，不等式和一次函数结合方

6、面考察的较多。解决这类问题的关键是采用数形结合的思想，把“数”化为“形”，使复杂问题简单化。　　案例5.已知直线经过点A（-1，-2）和点B（-2，0），直线经过点A，　　求不等式的解集。　　解析：如果采用单一的“数”的形式来解决这类问题（即用代数的方法），需要把点的坐标代入函数关系式中，用“待定系数”法求出函数关系式，再把函数关系式代入不等式中组成不等式组，最后求出不等式组的解集。虽然这样处理问题，能够得到最终的答案，但是做起来感觉比较繁，又会浪费我们许多宝贵的时间。如果采用“数形结合”8的办法来解决，会起到把复杂问题简单化，起到立竿见影，事半功倍的效果。　　

7、解析：⑴建立平面直角坐标系，作出函数图象，如图（5）所示。　　⑵由函数图象可知：函数是减函数y随x的增大而减小，并且当x>-2时y-2时<0　　x0.即x0　　⑶函数是正比例函数，y随x的增大而增大。当x>O时y>O，即2x>O，当x2x，在x=-1的右侧是<2x，　　因此不等式的解集是-2

8、径的目的，做到“数”与“