数形结合思想在高考中的运用

《数形结合思想在高考中的运用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、532'41,+°°)时，fM>a恒成立,数形结合思想数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与儿何图形的直观描述相结合，使代数问题、儿何问题相互转化，使抽彖思维和形象思维冇机结合•应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论Z间的内在联系，既分析其代数意义乂揭示其儿何意义，将数最关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.运用这-•数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征【难点磁场】1.曲线〉=1+J4—/(-20W2)与直线y

2、=r(x-2)+4冇两个交点时，实数厂的取值范围解析：方程y=l+J4—/的曲线为半圆，)=心-2)+4为过(2,4)的直线.答案:求d的取值范围.解法一:由f(x)>a,在[-1,+°°)上叵成立<=>x2-2ax+2-a>0在E-l,+°°)Jb恒成立.考査函数g(x)=x2-2ax+2-a的图象在［-!,+«>］时位于兀轴上方.如图两种情况:A>0(1)A=4/—4(2-=(-2,1),(2)^<-1=>“丘(一3,-2],综上所述^丘(一3,1).g(—1)>0解法二：由J{x)>cz<=>x2+2>a(2x+1)

3、,令yi=x2+2j2=^(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象.如图满足条件的直线/位于I占间，而直线小b对应的。值(即直线的斜率)分别为1,-3,故直线/对应的ae(-3,l).【案例探究】例1、设A={xI-2WxWa},B={yIy=2x+3，且xWA},C={zIz=『，且xeA},若CUB,求实数d的取值范围.命题意图：木题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目.知识依托:解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C.进而将CUB用不等式这一数学语言加以转化.错解分析：考生在确定炸[-

4、2,刃的值域是易出错，不能分类而论.巧妙观察图象将是上策.不能漏掉。<-2这一种特殊情形.技巧与方法：解决集合问题首先看清元索究竞是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进血分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决.解：・・•尸2x+3在[-2,刃上是增函数,・・・-1W)W2a+3,即B=[yI-1W)W2g+3}作出,=/的图象，该函数定义域右端点ea有三种不同的位置情况如下：①当-2WdW0时，即C={zI要使CcB,必须只须2d+334得a^-与-2Wd<0矛2厉.②当0WaW2

5、时,O0W4即c={zI0WzW4},要使CcB,由图可知：必须且只需2tZ+3-4,解得丄WaW20<6/<22-io42^+312v2+3a-a解得22④当a<-2时，A=0此时B=C=0,则CUB成立.综上所述,a的取值范围是（-8,-2）U[1,3]•2例2、已知qcosa+bsina=c,qcos力+bsin0=c（a/?HO,a-0工求证:cos2a2+b・・・曲旦c2a2^b2命题意图：本题主要考杳数学代数式儿何意义的转换能力.知识依托：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到在线方程.进而由A、B

6、两点坐标特点知其在单位圆上.错解分析：考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之-•如何巧妙利卅其儿何意义是为瓶颈之二.技巧与方法：善于发现条件的儿何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题.证明:在平面直角坐标系中，点A(cosa,sina)与点B(cos0,sinB)是直线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=的两个交点如图.从而：丨ABI2=(cosa-cosy^)2+(sina-sin阳=2-2cos(a_B)又・・•单位圆的圆心到直线I的距离cl=tklJo"山平而儿何知

7、识知丨0AI2-(丄AB

8、)2*2【锦囊妙计】丿应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化:(1)集合的运算及韦恩图:(2)函数及其图象:(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象(4)方程(多指二元方程)及方程的曲线以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图彖；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.以数助形常用的有：借助于儿何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与儿何定理的结合.【歼灭难点训练】一、选择题TT11.方程sin(x--)=-x的实数解的个数是(B)44A.2B.3C.4D.以上均不对1.已知f

9、(x)=(x-a)(x-Z?)-2(其中a