高三数学解题方法谈：数形结合.doc

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1、数形结合———高考解题的一把利刃　　数形结合思想的实质是将抽象的数量关系与直观的图形结合起来，具有直观、明了、易懂等优越性，如能准确把握，威力巨大．这也是高考考查的重点，让我们看看其在函数中的神奇效果．　　一、研究函数的性质　　例1　（2005年北京卷13题）对于函数定义域中任意的，有如下结论：　　①；②；　　③；④．　　当时，上述结论中正确结论的序号是___．　　解析：作出图象如图1，由图可知④不正确；而①显然不成立；②为运算律，成立；③表示与同号，由增函数的定义知：在其定义域上为增函数成立．所以答案为：②③．　　点评：本题综合考查函数的概念、图象及性质

2、，选项③侧重考查单调性，选项④考查函数图象，若用代数方法研究，难度较大，通过图象的特征及其变化趋势则容易判断．　　二、研究函数的最值　　例2　（2006年全国Ⅱ理科12题）函数的最小值为（　　）．　　（Ａ）190　　（Ｂ）171　　（Ｃ）90　　（Ｄ）45　　解析：绝对值往往是使试题增加难度的“添加剂”．如果试图进行分类讨论，几乎不可能完成，必须另寻妙法的几何意义是什么？是数轴上的点到点1的距离，那么就是点x到点1与到点2的距离之和，如图2，当时，的最小值为1；又当x=2时，的最小值为2；…，依次类推，当x=10时，所求最小值为，故选（Ｃ）．　　求等差数列

3、前9项的和当然是“小菜一碟”，而此时绝对值的几何意义则成了解题的关键，这个解题过程可用“一点突破，全线贯通”来形容！　　三、研究方程的解　　例3　（2005年上海春招理16题）设定义域为R的函数，则关于x的方程有7个不同实数解的充要条件是（　　）．　　（Ａ）b<0且c>0　　（Ｂ）b>0且c<0　　（Ｃ）b<0且c＝0　　（Ｄ）b≥0且c＝0　　解析：其图象如图3所示，的图象关于对称，且．　　若方程①有7个不同实数根，则方程②有两个不相等的实根，且一根为正，一根为0，否则，若方程②有两个相等的非负实根，则方程①至多有4个解，若方程②有两个不相等的正实根，则

4、方程①有8个解．　　因为满足方程①，则，又也满足方程①，所以．所以b<0，且c＝0，故选（C）．　　点评：在中学阶段所涉及的函数：正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数等都要充分联系函数图象，借助图象的直观形象，达到求解的目的．　　例4　设方程的解为，方程的解为，求．　　分析：给出的是不定的，所求得的都不固定．但原方程可分别变形为和．因为与互为反函数，所以函数的图象与函数的图象关于直线对称，而可分别看作直线与函数的图象及函数的图象交点的横坐标．如图4，直线与直线互相垂直，点Ａ与点Ｂ关于直线对称，设点Ｐ为线段的中点，且点为直线与直线的交点，则问题可转

5、化为求点Ｐ的横坐标．　　解：如图4，由，解得则．　　评注：隐性条件的挖掘是解题的关键，要善于从条件的结构特征中寻找一些和函数图象关联的信息源，以便为解决问题作好形的铺垫．