用数形结合地方法解题

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1、实用文案1引言数与形是数学中最古老最基本的研究对象。华罗庚教授说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”数与形各有特定的含义、但他们之间相辅相成、相互渗透、相互转化。数形结合思想是重要的解题方法，是每年高考必考的重要内容，数形结合应用解题能力与学生成绩呈显著的正相关。解题时将问题转化为与之等价的图形问题，可以直观的使问题简捷获解。实现数形结合常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义；③以几何元素和几何条件为背景建立起的概念；④函数与图像的对应关系；⑤曲线与方程的对应关系。应用数形结合思想不仅直观易发现

2、解题途径，而且能避免复杂的计算推理，大大简化解题过程，这在解选择、填空题中更为显著，培养这种思想意识能开拓自己的思维视野。2文献综述2.1国内外研究现状数形结合作为高中数学中非常重要的思想方法，很早就引起了许多专家学者的关注。自笛卡尔创造了平面直角坐标系，数形结合的思想得到了突飞猛进的发展。文献[1]中叶立军谈到：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。”近些年来，国内外仍有许多学者发表了对数形结合思想的应用研究，文献[2-3]中介绍了数形结合在概率统计和数列中的应用。文献[4-6]通过总结图形结构与数式结构提出了数形结合的两

3、个主要途径。文献[7-10]认为数形结合可以直观快速解决很多问题，但转化时要遵循转化等价原则。不过由于数形结合思想应用范围极其广泛，所以我认为目前对数形结合思想的研究仍有很大的空间。2.2国内外研究现状评价文献[11-13]中介绍了许多数形结合的途径和方法，其中研究解决函数各类文章最多，集中于判断两函数图像交点个数及其他函数性质。对于数形结合在高中数学各种问题的研究并不够全面。2.3提出问题标准文档实用文案如今数形结合有着广泛的应用，即把数学与几何图形相结合，化繁为简，化抽象为具体，直观快速地抓住问题的本质与要害，可使解题起到事半功倍的效果。然而一个不

4、争的事实是—学生利用数形结合在高中数学解决问题的现状并不乐观。因此对数形结合在高中数学各知识点进行全面研究是有必要的。3数形结合思想概述1、数形结合思想的概念数和形是高中数学研究的两大部分，他们之间相互转化，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”和“以数助形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而提高解题效率。以形助数通常是借助数轴、单位圆、函数图象数式的结构特征等。以数助形通常是借助向量知识、几何图形表示的数量关系、几何定理等。2、数形结合思想应遵守的原则（1）等价性原则。数与形的相互转化要求所讨论的问题与数与

5、形所反映的对应关系必需一致，即代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则会由于几何的局限性导致表示的数不完整。（2）双向性质原则。利用数形结合思想，一方面要对直观几何进行分析，另一方面要对代数抽象作探索，两方面相辅相成。如只对几何问题进行代数分析或对代数问题进行几何分析，在很多时候是很难行得通的。（3）简单性原则。简单性原则就是用什么方法解题简单就用什么方法，不要刻意去追求某一种模式——代数问题用几何方法，几何问题用代数方法。3、数形结合思想的的解题方法（1）图示法如集合运算中的韦恩图，它常常用来显示数学对象间的关系。（2）区域法如用不等式的几何意义表

6、示平面区间。（3）坐标法如方程式图形和函数图象它常来表示二元变量坐标间的关系。（4）特征法如借用连续函数图象显示数列，既求和公式的量化特征。4数形结合思想在解题中的应用标准文档实用文案4.1在集合中的应用集合是高中数学的第一个概念，也是很多数学概念建立的基础，对集合含义、交并补运算的考查是检验掌握知识的关键。通过数轴平面直角坐标系以及韦恩图表示集合，利用数形结合能快速解决集合问题。例1若集合，集合且，则b的取值范围为__＿.解析：集合可以变为，显然，表示以（0，0）为圆心，以5为半径的圆在轴的上方的部分，表示斜率为，纵截距为的直线，要使，即使直线与圆（

7、轴上半部分）有公共点。yxo图1由图1知.4.2在函数中的应用函数问题是高中数学的一大重难点,然而若注重函数的几何特征，把函数求值的代数问题通过数形结合的运用转化为两点距离问题、斜率问题、直线的纵截距问题等，则可使问题迎刃而解。例2已知函数，求函数的单调区间，并指出单调性。解析：当即或时，标准文档实用文案当即时，所以y0123x如图2所示图2所以函数的单调区间有：(-∞，1]，[1,2]，[2，3]，[3，+∞）.其中增区间是[1,2]与[3，﹢∞﹚，减区间是﹙－∞，1]与[2,3].4.3在数列中的应用若加强数列中有关数形结合思想方法的应用，可加深对

8、问题的认识，从而抓住问题的本质构造几何图形突破数列问题。例3若数列为等差数列，求.n解析：设等