资源描述：
《例谈数形结合思想方法在解题中应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、例谈数形结合思想方法在解题中应用数学思想是数学的灵魂，数学思想方法是解决数学问题的思维策数学思想方法蕴含于数学知识之中，又相对超脱于某一个具体的数学知识之外。数学思想方法的教学比单纯的数学知识教学困难得多。因为数学思想方法是具体数学知识的本质和内在联系的反映，具有一定的抽象性和概括性，它强调的是一种意识和观念。常用的数学思想方法主要有转化与化归的思想方法、数形结合的思想方法、分类讨论的思想方法、函数与方程的思想方法和建模的思想方法等。其中，数形结合的思想方法运用尤为广泛。这是因为数学是研究现实世
2、界空间形式和数量关系的科学，故研究总是围绕着数与形进行的。“数”就是代数式、函数、不等式等表达式，“形”就是图形、图象、曲线等。数形结合就是抓住数与形之间本质上的联系，以形直观地表达数，以数精确地研究形。“数无形时不直观，形无数时难入微。”数形结合是研究数学问题的重要思想方法，它能有效地将形象思维过渡到抽象思维。下面，略举数例，谈谈数形结合的思想方法在几何解题中的运用。一、挖掘内在联系，找准结合点运用数形结合的思想方法，关键在于立足题例，悉心观察，深入思考，严谨分析，反复推敲，准确找到“数”与“
3、形”的最佳结合点。在运用数形结合思想方法的过程中，常用的结合点甚多。其中，笔者有感于如下两点。1•在数形结合中利用曲线的定义在圆锥曲线中，圆、椭圆、抛物线、双曲线的定义揭示了动点在运动中与定点(定直线)所保持的特定关系。这种特定关系正是“数”与“形”的最佳结合点之一。在解题中，须善用之。例如，已知A(,0),B是圆F：上的一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P。求动点P的轨迹方程。分析(图略)：由线段AB的垂直平分线易想到连接A、P,势必有PA二PB，于是PA+PF二FB,而FB是圆F的半径(定
4、值),且圆心F(,0)与点A(,0)均为定点。这些，正好符合椭圆的定义。由A点、F点的坐标可知，动点P的轨迹是中心在原点，焦点在X轴上的椭圆。故可用定义法解之，一举奏效。此题，若设动点P的坐标，按常法一一“轨迹法”解之，则既难且繁，然而，解题者却极易步入此道。因此，我们务必加强数形结合的思想意识。2•在数形结合中利用曲线与方程的关系曲线与方程的关系是“数”与“形”的结合点之一。其通常用法是：曲线上的点的坐标必然适合于曲线的方程。若点的坐标含有未知数，则把点的坐标代入曲线方程，旨在利用曲线与方程的
5、关系建立新的方程，解决问题。这较之利用其它等量关系建立方程更为简捷。例如，如图，已知P(3a,a)是反比例函数(k>0)与Oo的一个交点，图中阴影部分的面积为ion,求该反比例函数式。分析：图中阴影部分的面积正好是。。面积的，所以Oo面积为40口。因为点P(3a,a)既在双曲线上又在圆上，其坐标必然分别适合于它们的方程，故可建立新的方程(组)，以求k之值。简述：•••点P(3a,a)在反比例函数(k>0)的图象上，.•.，.•.，V4on=n,=40,AOo的方程为,•.•点P(3a,a)在Oo
6、上，.I,.I,故该反比例函数式为二、摆脱思维定势，力避局限性值得注意的是，数形结合的思想方法在运用中，有其局限性，不可泛用和滥用，有时则须摆脱其思维定势的影响，另辟新径。否则，极易步入歧途，自找麻烦，甚至无功而返。例如，下面的一道组合式几何题，第一小题，用数形结合的思想方法，不难解之，但第二小题若用数形结合的思想方法,则障碍重重，特别是第二问，更是多方设形，难以奏效。但如若采用三角函数与不等式的计算方法，则既易且简，水到渠成。其为一一已知菱形ABCD的边长为6,且ZB=60°，现有两动点P、Q
7、均以1单位❷s的速度分别从D、C同时出发，点P沿射线DC运动，点Q沿折线C-B-A运动，当Q到达A点时运动停止，设运动时间为t（1）当Q在边CB上时（不与B、C重合），试判断ZkAPQ的形状。分析（图略人要判断AAPQ的形状，则须考察其三边是否彼此相等。一般是利用三角形全等的性质解决问题。于是,连接A、C,考察AABO与AACP是否全等，继而进一步探索,AAPQ是否是等边三角形。简述：连接A、C,由菱形得性质易知ZBCA=ZPCA=60°,・•・可知ZkABC是等边三角形，・・・AB二AC,ZB
8、-ZPCA,又易知BQ=CP,/.AABQ^AACP,AQ=AP,ZBAQ二ZCAP,又易知ZBAC=60°,AZPAQ=60°,故ZXAPQ是等边三角形。（2）当点Q在EC边上时（不与B、C重合），求ACPQ周长的最小值及ACPQ面积的最大值。①求ACPQ周长的最小值分析（图略）：由于易知QC+CP二6（定值），所以PQ最小时，其周长的值最小。如果从“形”入手，则估计这时P、Q分别为DC、CB的中点，记为M、N,于是作AAOP与ZXANM,由于AAQP形成的瞬时性，则只须证明PQ>MN即可。由
