例谈数形结合思想方法在初中数学教学中地指导应用.doc

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1、例谈数形结合思想方法在初中数学教学中的应用州宾川县教育局教研室辉（联系电子信箱bcxjys126.邮编671600）数学研究的对象，是现实世界中的数量关系（简称“数”）和空间形式（简称“形”），而“数”和“形”是相互联系、相互渗透、相互转化的，正如著名数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。”数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合思想方法就是把抽象严谨的数学语言、数量关系与直观表意的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”，给抽象的问题以形象化的原型，从而给人们以形象思维的启示；反过来，“以数助形

2、”，则对直观问题以数理推证和精确刻划，从而起到把握数学本质的目的。在初中数学教学中，数形结合的思想方法应用广泛，常见的有判断有理数大小的关系、代数式变换、解方程及解不等式、列方程解应用题，函数及其图像、平面几何问题、数据统计及简单的三角函数等方面。一、数形结合在有理数中的应用例1：有理数a、b在数轴上的位置如图1所示，则a与b的大小关系是（）A．a＞bB．a=bC．a＜bD．不能判断分析：从有理数a、b在数轴上的位置看，a＜0，b＞0，所以a＜b，故选C.数轴的引入为有理数容体现数形结合思想提供了桥梁作用。对于每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此

3、，两个有理数大小的比较，可以通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系来判断。尽管我们学习的是有理数，但要记住它的形（数轴上的点），渗透数形结合的思想方法，帮助初一学生正确理解有理数的概念及其运算法则。二、数形结合在代数式中的应用例2：试用几何图形表示一个代数式（a＋b）（a－b），并验证（a＋b）（a－b）=a2－b2的正确性。 分析：将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形，剪下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形，并请用等式表示你剪拼前后的图形的面积关系（a＞b＞0），如图2所示。利用图形面积的相等关系,进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性,渗透了数

4、形结合的思想方法，让学生体会到代数与几何的在联系．引导学生学会从多角度、多方面来思考问题。三、数形结合在列方程（组）解应用题中的应用例3：小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校上学。小明以80米/分的速度出发，5分后，小明的爸爸发现他忘了带语文书。于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他。（1）爸爸追上小明用了多长时间？（2）追上小明时，距离学校还有多远？分析：当爸爸追上小明时，两人所行距离相等。在解决这个问题时，要抓住这个等量关系。（画出线路图关系就很清楚了）爸爸走的路程=小明走5分钟的路程+小明走x分钟的路程=小明走的总

5、路程；根据相等关系列一元一次方程，可得到爸爸追上小明用了4分钟。追上小明时，距离学校还有280米。列方程解应用题的难点是如何根据题意寻找等量关系列出方程，教学时要突破这一难点，往往就要根据题意画出相应的示意图．这里隐含着数形结合的思想方法，不论是行程问题、追击问题，还是工程问题、浓度问题等，只有依据题意画出相应的示意图，才能帮助初一学生迅速找出等量关系列出方程，从而突破难点。四、数形结合在不等式（组）中的应用例4：解不等式3-x＜2x＋6，并把它的解集表示在数轴上。分析：解不等式3－x＜2x＋6可得，x＞－1，这个表达式的解集在数轴上表示如图4：把不等式的解集

6、x＞－1在数轴上直观地表示出来，既具体又现象，更能理解不等式有无限多个解，对初学不等式的学生来说，很有必要。例5：解不等式组:分析：解不等式组可得，在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图5：所以，原不等式组的解集是x＜。教师在教学一元一次不等式（组）时，为了加深学生对不等式（组）解集的理解，教师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解。在数轴上表示数是数形结合思想方法的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示数又前进了一步。确定一元一次不等式的解集时，利用数轴更为有效。 五、数形结合在函数中的应用例6：已知二次

7、函数的图象如图所示，下列结论：①、②、③、④中正确的个数是()(A)4(B)3(C)2(D)1分析：仔细观察抛物线的位置走向，关键点的位置坐标，以及解析式中各系数与图形性质的对应关系，再做出判断。由观察图形可知，当和时，分别有和，即，，可得①、②正确。由抛物线开口向下，所以，对称轴，所以有且，又由于抛物线和轴的交点在轴的上方，所以则有，即③正确。将代入①中可得到，即④不正确。综上所述，应选(B)。我们教学时会发现图形的特征常常体现着数的关系，运用“数”的规律，数值的计算，就可以寻找出处理“形”的方法，来达到“数促形”的目的。例7：如图7所示，A、B两点在X轴上

8、，且在原点O的右边，点A在点B的左边，