欢迎来到天天文库
浏览记录
ID:34410584
大小:604.18 KB
页数:11页
时间:2019-03-05
《“数形结合”在初中数学中地运用》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、实用文案“数形结合”在初中数学中的运用一、以数助形“数(代数)”与“形(几何)”是中学数学的两个主要研究对象,而这两个方面是紧密联系的.体现在数学解题中,包括“以数助形”和“以形助数”两个方面.“数”与“形”好比数学的“左右腿”.全面理解数与形的关系,就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会.此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性,相互补充.“数缺形时少直觉,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事非.”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要,“数形结合”是一种非常重要的数学方法,也是一种
2、重要的数学思想,在以后的数学学习中有重要的地位.要在解题中有效地实现“数形结合”,最好能够明确“数”与“形”常见的结合点,,从“以数助形”角度来看,主要有以下两个结合点:(1)利用数轴、坐标系把几何问题代数化(在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化);(2)利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题,例如:利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等.例1.已知平面直角坐标系中任意两点和之间的距离可以用公式计算.利用这个公式计算原点到直线的距离.解:设是直线上的任意一点,它到原点的距离是当时,.所以
3、原点到直线的距离为.【说明】建立坐标系,利用坐标及相关公式处理一些几何问题,有时可以避免添加辅助线(这是平面几何的一大难点).在高中“解析几何”里,我们将专门学习利用坐标将几何问题代数化.例2.已知的三边长分别为、和(m、n为正整数,且).求的面积(用含m、n的代数式表示).【分析】已知三角形三边求面积一般称为“三斜求积”问题,可用“海伦公式”计算,但运用“海伦公式”一般计算比较繁,能避免最好不用.本题能不能避免用“海伦公式”,这要看所给的三角形有没有特殊之处.代数运算比较过硬的人可能利用平方差公式就可以心算出来:,也就是说,的三
4、边满足勾股定理,即是一个直角三角形.“海伦公式”:三角形三边长为a、b、c,p为周长的一半,则三角形的面积S为:.解:由三边的关系:.所以是直角三角形.所以的面积.【说明】利用勾股定理证明垂直关系是比较常用的“以数助形”标准文档实用文案的手法.另外,熟练的代数运算在这道题中起到了比较重要的作用.代数运算是学好数学的一个基本功,就像武侠小说中所说的“内功”,没有一定的内功,单单依靠所谓的“武林秘笈”是起不了多少作用的.例3.直线与抛物线相交,两交点的横坐标分别为、,直线与x轴的交点的横坐标为.求证:.【分析】本题是研究抛物线和直线相
5、交的相关问题,只是由于a、b、c的符号不确定,导致抛物线和直线在坐标系中位置不确定,考虑问题需要进行分类讨论,比较麻烦.如果将问题代数化,看成有关方程的问题,进行相关的计算,就省去了分类的麻烦.解:∵直线与x轴的交点的横坐标为,∴.∴..∵直线与抛物线两交点的横坐标分别为、,∴、为关于x的一元二次方程的两个不等实根.∴,.∴.∴.例4.将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形.【分析】这是一类很常见的问题.如果单单从“形”的角度来思考,恐怕除了试验,没有其它更好的办法了.但是如果我们先不忙考虑怎样剪裁,而是先从“数
6、”的角度来算一下,我们不难利用面积算出剪拼出来的正方形边长应该是.现在我们只需要在图中找出来一段边长为的线段,以此为一边作一个正方形(如图),我们就不难设计出各种剪裁方法了.【说明】有人把这种方法叫做“面积法”,其实“面积法”这个名字并没有揭示这类方法的所有本质.“面积”是剪拼问题中的一个“不变量”,几乎所有的剪拼问题,都可以先抓住“面积”这个不变量来进行“数”的计算.另一方面,“面积”本身就是从“数”的角度来刻画“图形”的大小特征的一个概念.因此,所谓“面积法”,实际上就是“数形结合”标准文档实用文案这种数学思想的一种具体体现.
7、二、以形助数几何图形具有直观易懂的特点,所以在谈到“数形结合”时,更多的老师和学生更偏好于“以形助数”,利用几何图形解决代数问题,常常会产生“出奇制胜”的效果,使人愉悦.几何直观运用于代数主要有以下几个方面:(1)利用几何图形帮助记忆代数公式,例如:正方形的分割图可以用来记忆完全平方公式;将两个全等的梯形拼成一个平行四边形可以用来记忆梯形面积公式;等等.(2)利用数轴或坐标系将一些代数表达式赋予几何意义,通过构造几何图形,依靠直观帮助解决代数问题,或者简化代数运算.比如:绝对值的几何意义就是数轴上两点之间的距离;数的大小关系就是数
8、轴上点的左右关系,可以用数轴上的线段表示实数的取值范围;互为相反数在数轴上关于原点对称(更一般地:实数与在数轴上关于对称,换句话说,数轴上实数关于的对称点为);利用函数图像的特点把握函数的性质:一次函数的斜率(倾斜程度)、截距,二次函数的对称轴、开
此文档下载收益归作者所有