高中数学解题方法谈：圆锥曲线中的最值与定义.docx

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1、圆锥曲线中的最值与定义编者的话：圆锥曲线中的最值问题是高考中常考常新的内容，其解答大多可回归定义．高考试题源于课本，高于课本，对课本习题的解答也应不拘泥于这些题目本身，注意挖掘它们的丰富内涵是训练中要特别注意的问题．抓住本质，举一反三，才能真正雕琢出璞玉．圆锥曲线中的最值问题往往和定义联系密切，许多问题很有研究价值．解题策略主要是转化思想，具体方法则可通过“化曲为直”处理，现以课本习题为例剖析这一类题．例1（人教社新课标选修1-1Ｂ版第48页习题Ｂ组第3题）已知点A(11)，，F1是椭圆x2y21的左焦点，P是椭圆上的任意一点，求

2、PF1PA的最小值．95解析：如图1，PF1PA2aPF2PA2a(PF2PA)，点A(11)，在椭圆的内部，连接AF2并向两端延长与椭圆分别交于两点P1，P2，由三角形两边之差小于第三边（两边之和大于第三边）可得AF2≤PF2PA≤AF2，当且仅当P分别位于P1，P2点时取等号，AF22，故2≤PF2PA≤，62≤a(P2FP≤A)，2则PF1PA的最小值为62．上面的解答过程不仅求出了最小值，也一并求得了最大值，类似的通过定义转化为“线段”以求出最大（小）的例子，在高考中比比皆是．如：2004年福建卷文科第12题：如图2，B地

3、在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30方向2km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km．现要在曲线PQ上选一处Ｍ建一座码头，向B，C两地转运货物．经测算，从M到B、从M到C修建公路的费用都是a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（）．Ａ．(71)a万元Ｂ．(272)a万元Ｃ．27a万元Ｄ．(71)a万元解析：原问题中曲线PQ是以A，B为焦点的双曲线的右支，只要求出(MBMC)min用心爱心专心即可，结合双曲线的定义可以得到MBMCMA2MC≥AC2(272)a，选（Ｂ）．例2（人教社新

4、课标选修1-1B版第70页习题B组第5（1）题）已知抛物线y24x，点P是抛物线上一点，设F为焦点，一个定点为A(6，3)，求PAPF的最小值，并指出此时P的坐标．解析：如图3，由抛物线的定义，过点P作抛物线准线的垂线交准线l于T，则PTPF，PAPFPAPT≥AT，而ATxx6(1)7，此时点P9，l3，A4因此(PAPF)min7，点P坐标为93．4，又如：（山东省临沂市二模）已知M10，抛物线C:y22x上的动点P，若P到3，3M的距离为d1，P到抛物线准线l的距离为d2，求d1d2的最小值及此时P的坐标．解析：注意到M在C

5、开口的外部（如图4），且d2PF（F为C的焦点），因此d1d2PMPF≥FM256（当F，P，M共线时有最小值），此时P的坐标是(2，2)．用心爱心专心