高中数学解题方法谈线性规划求最值问题 .pdf

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1、线性规划求最值问题一、与直线的截距有关的最值问题x2≤0，例1已知点P(x，y)在不等式组y1≤0，表示的平面区域上运动，则zxy的x2y2≥0取值范围是（）．（A）［－2，－1］（B）［－2，1］（C）［－1，2］（D）［1，2］解析：由线性约束条件画出可行域如图1，考虑zxy，把它变形为yxz，这是斜率为1且随z变化的一族平行直线．z是直线在y轴上的截距．当直线满足约束条件且经过点（2，0）时，目标函数zxy取得最大值为2；直线经过点（0，1）时，目标函数zxy取得最小值为－1．故选（

2、C）．注：本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为（0，1），（2，1），（2，0），然后再一一代入目标函数求出z=x-y的取值范围为［1，2］更为简单．这需要有最值在边界点取得的特殊值意识．二、与直线的斜率有关的最值问题xy2≤0，y例2设实数x，y满足xc2y4≥0，，则z的最大值是__________．x2y3≤0，yy0解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC（如图2），z表示两点xx0O(0，，0)P(x，y)确定的直线的斜率，要求z的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值．由

3、图2可以看出直线OP的斜率最大，故P为x2y40与2y30的交点，即A点．33∴P1，．故答案为．22yy0注：解决本题的关键是理解目标函数z的xx0y几何意义，当然本题也可设t，则ytx，即为求xytx的斜率的最大值．由图2可知，ytx过点A时，3t最大．代入ytx，求出t，23即得到的最大值是．2三、与距离有关的最值问题xy2≥0，例3已知xy4≥0，，求zx2y210y25的最小值．2xy5≤0，解析：作出可行域如图3，并求出顶点的坐标A（1，3）、B

4、（3，1）、C（7，9）．而zx2(y5)2表示可行域内任一点（x，y）到定点M（0，5）的距离的平方，过M作直线AC的垂线，9易知垂足Ｎ在线段AC上，故z的最小值是MN2．2注：充分理解目标函数的几何意义，如两点间的距离（或平方）、点到直线的距离等．四、与实际应用有关的最值问题例4预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1．5倍，问桌、椅各买多少才行？分析：先设出桌、椅的变数后，目标函数即为这两个变数之和，再由此在可行域内求出最优解．解题中应

5、当注意到问题中的桌、椅数都应是自然数这个隐含条件，若从图形直观上得出的最优解不满足题设条件时，应作出调整，直至满足题设．解：设应买x张桌子，y把椅子，把所给的条件表示成50x20y≤2000，y≥x，不等式组，即约束条件为y≤1.5x，x，yN，200x，50x20y2000，7由解得．yx，y200.7200200∴A点的坐标为，，77x25，50x20y2000，由解得75．y1.5x，y.275∴B点的坐标为25，．220

6、020075所以满足约束条件的可行域是以A，，B25，，O(0，0)为顶点的三角形区772域（如图4）．由图形可知，目标函数zxy在可行域内的最优解为25，，但注意到x，yN，故取y37．答：应买桌子25张，椅子37把．