高中数学解题方法谈 线性规划求最值问题

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1、线性规划求最值问题一、与直线的截距有关的最值问题例1　已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是（　　）．（A）［－2，－1］　　（B）［－2，1］（C）［－1，2］　　（D）［1，2］解析：由线性约束条件画出可行域如图1，考虑，把它变形为，这是斜率为1且随z变化的一族平行直线．是直线在y轴上的截距．当直线满足约束条件且经过点（2，0）时，目标函数取得最大值为2；直线经过点（0，1）时，目标函数取得最小值为－1．故选（C）．注：本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为（0，1），（2，1），（2，0），然后再一一代入目标函数求出z=x-y的取值范围为［

2、1，2］更为简单．这需要有最值在边界点取得的特殊值意识．二、与直线的斜率有关的最值问题例2　设实数满足，则的最大值是__________．解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC（如图2），表示两点确定的直线的斜率，要求z的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值．由图2可以看出直线OP的斜率最大，故P为与的交点，即A点．　　∴．故答案为．注：解决本题的关键是理解目标函数的几何意义，当然本题也可设，则，即为求的斜率的最大值．由图2可知，过点A时，3t最大．代入，求出，即得到的最大值是．三、与距离有关的最值问题例3　已知，求的最小值．解析：作出可行域如

3、图3，并求出顶点的坐标A（1，3）、B（3，1）、C（7，9）．而表示可行域内任一点（x，y）到定点M（0，5）的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足Ｎ在线段上，故z的最小值是．注：充分理解目标函数的几何意义，如两点间的距离（或平方）、点到直线的距离等．四、与实际应用有关的最值问题例4　预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1．5倍，问桌、椅各买多少才行？分析：先设出桌、椅的变数后，目标函数即为这两个变数之和，再由此在可行域内求出最优解．解题中应当注意到问题中的桌、椅数都应是

4、自然数这个隐含条件，若从图形直观上得出的最优解不满足题设条件时，应作出调整，直至满足题设．解：设应买x张桌子，y把椅子，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为　　由解得．∴A点的坐标为，　　由解得．∴B点的坐标为．3所以满足约束条件的可行域是以为顶点的三角形区域（如图4）．由图形可知，目标函数在可行域内的最优解为25，，但注意到，故取．答：应买桌子25张，椅子37把．3