导数与最值解题方法指导

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1、当求解函数的最值问题时，所用的一般都是配方法、二次函数图象、反函数法、换元法、判别式法或基本不等式等常用的方法，但有些问题仅用上述初等方法不能解决或解答起来较繁琐，学了导数后，这种困惑大多可迎刃而解。本文以几道典型题目为例，和大家共同探讨用导数求最值的方法步骤以及需耍注意的问题。一、求函数在特定区间上的最值例1：求函数f(x)=x2-4x+6在区间［1,5］内的最大值和最小值。题目分析：函数在特定区间上的最值一般有两种情况：(1)如果函数f3在g方］上单调增加(减少)，则f@)是f(x)在［a,切上的最小值(最大值)，是f(劝在［a,切上

2、的最大值(最小值)0(2)如果函数在区间［a,b］内有极值，将y=f(x)的各极值与f(a)>f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.正确解答：/⑴=2x-4,令/(x)=0,即2x-4=0,得x=2。X1(1,2)2(2,5)5y'负0正y3减2增11故函数f(x)在区间［1,5］内有极小值为2,最大值为11,最小值为2o总结升华：求f(x)在闭区间［a,b］上的最值的步骤：(1)求f(X)在区间(a,b)内的极值(极大值或极小值)(2)求出区间端点处的函数值；(3)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最

3、大的一个为最大值，最小的一个最小值。趁热打铁：求函数y二a3+3a2—9a在上［―4,4］的最大值和最小值。题目解析：(1)由f'(方二3严+6l9,得驻点为坷二一3,x2-l驻点处的函数值为f(—3)=—27,f(1)=—4(2)区间端点［一4,4］处的函数值为f(-4)二20,f(4)二76⑶比较以上各函数值，可知函数在】一4,4］上的最大值为f⑷=76,最小值为f(-3)=-27o警铃长鸣：1、看清楚题目中给的条件到底是开区间还是闭区间，若是闭区间，则将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个

4、最小值；若是开区间，则不需要和端点值比较。2、求函数极值时，导数值为0的点是该点为极值点的必要条件，但不是充分条件。二、实际应用中的最值问题例2：把长度为16cm的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积之和的最小值为多少？题目分析：建立面积和正方形的周长的函数关系，再求最小值.正确解答：设一段长为xcm,则另一段长(16—x)cm.2X2-33x4-2508面积和XAS7=4-2,令S'=0Wx=8.列表:X(0,8)8(8,16)—0+・••当x=8时，S有最小值8cnA总结升华：这是解实际应用题的一般方法.先构造函数关系，再求满足

5、条件的解，极值或最值。趁热打铁：如图所示，在二次函数f(x)=4x-x2的图象与X轴所围成图形中有个内接矩形ABCD,求这个矩形面积的最大值。题目解析：设点B的坐标为(x,0)且0〈x〈2,Vf(x)=4x-x2图象的对称轴为x=2,•••点C的坐标为(4-x,0),・•・

6、BC

7、=4-2x,

8、BA

9、=f(x)=4x-x2o•••矩形面积为y二(4-2x)(4x—x2)-16x~12x2+2x3y1=16-24x+6x—2(3x2-12x+8)令『二0,解得3,・.・0

10、的最大值