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1、微积分（下册）第七章空间向量与空间解析几何简介向量第一节数量积向量积*混合积第二节平面及其方程第三节第七章空间向量与空间解析几何简介空间直线及其方程第四节曲面方程第五节曲线方程第六节第七章空间向量与空间解析几何简介在中学数学中，我们已经学习了平面向量和平面解析几何的内容.例如,方程x2+y2=1在平面坐标系中，它表示一个单位圆，那么在空间坐标系中，它又表示什么呢？这正是本章将要学习的知识.本章主要介绍空间直角坐标系、空间向量的概念及运算，重点讲解平面与直线的各种方程及其相互关系，简单介绍空间曲线和曲面的有关知识.要求
2、掌握空间曲线和曲面的投影曲线，特别是要掌握一些特殊的二次曲面的方程及图形，为学习多元函数的微积分做好准备.向量第一节一、空间直角坐标系过空间一个定点O,作三条互相垂直的数轴,它们都以O为原点且具有相同的长度单位,这三条轴分别称为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴),三条数轴统称为坐标轴.它们的正方向符合右手法则，即以右手握住z轴,并拢的四个手指从x轴的正方向旋转90°指向y轴的正方向,竖起的大拇指指向就是z轴的正方向,如图7-1所示.这样的三条坐标轴就组成了空间直角坐标系,点O称为坐标原点(简称原点).图7-1一
3、、空间直角坐标系在空间直角坐标系中,任意两条坐标轴确定的平面称为坐标面.三个坐标轴确定了三个平面,分别称为xOy坐标面、yOz坐标面、zOx坐标面.三个坐标面将整个空间分成八个部分,每一部分称为一个卦限,八个卦限分别用Ⅰ，Ⅱ，…，Ⅷ表示(见图7-2).图7-2一、空间直角坐标系有了空间直角坐标系,就可以建立空间中的点和有序数组之间的对应关系.设M为空间中一已知点,过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,交点分别为P，Q，R(见图7-3).设这三个点在x轴、y轴和z轴上坐标依次为x，y，z,则点M唯一确定了一个三元
4、有序数组(x，y，z).图7-3一、空间直角坐标系反过来,给定了一个三元有序数组(x，y，z),则可分别在x轴、y轴和z轴上取坐标依次为x，y，z的三个点P，Q，R，然后过这三个点分别作一个与x轴、y轴和z轴垂直的平面,这三个平面有唯一的交点,设为M,则一个三元有序数组(x，y，z)就唯一地确定了空间一点M.这样,利用空间直角坐标系,就在三元有序数组(x，y，z)与空间中任意一点M之间建立了一一对应关系.称这个三元有序数组(x，y，z)为点M的直角坐标,并依次称x，y，z为点M的横坐标、纵坐标、竖坐标，坐标为(x
5、，y，z)的点M,记为M(x，y，z).一、空间直角坐标系显然,坐标原点O的坐标为(0，0，0);x轴、y轴和z轴上任意一点的坐标分别为(x，0，0)，(0，y，0)，(0，0，z);xOy坐标面、yOz坐标面、zOx坐标面上任意一点的坐标分别为(x，y，0)，(0，y，z)，(x，0，z).对空间中两点M1(x1，y1，z1)和M2(x2，y2，z2),可用其坐标表示它们间的距离d.设M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)是空间中两点,如图7-4所示.图7-4一、空间直角坐标系过M1,M2各作三个平面
6、分别垂直于三条坐标轴,这六个平面围成一个以M1M2为对角线的长方体.线段M1P，M1Q，M1R是它的三条棱,它的对角线M1M2的长度设为d,则d2=M1M22=M1P2＋M1Q2＋M1R2.因为M1P=P1P2=x2-x1，M1Q=Q1Q2=y2-y1，M1R=R1R2=z2-z1，一、空间直角坐标系所以d2=M1M22=x2-x12＋y2-y12＋z2-z12，即d=x2-x12＋y2-y12＋z2-z12.(7-1)式(7-1)称为两点间距离公式.特别地,空间任一点M(x，y，z)与坐标原点O(0，0，0)的
7、距离为d=OM=x2＋y2＋z2.(7-2)一、空间直角坐标系【例1】二、向量的概念在物理学中,我们已经遇到过既有大小,又有方向的量，如力、力矩、速度等.这一类量称为向量.在数学上,常用一条有方向的线段即有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.以M1为起点,M2为终点的向量记作M1M2(见图7-5).有时也用一个黑体字母(或书写时在字母上面加箭头)来表示向量,如a，v，F(或a，v，F).以坐标原点O为起点,向一个点M引向量OM,这个向量称为点M对于O的向径,常用黑体字r表示.
8、图7-5二、向量的概念向量的大小称为向量的模.向量M1M2，a的模依次记为
9、M1M2
10、，
11、a
12、.模等于1的向量称为单位向量.模为零的向量称为零向量,记作0.零向量的起点和终点重合,它的方向可以看作是任意的.在许多涉及向量的实际问题中,可以不考虑向量的起点位置,只考虑其大小和方向,称这样的向量为自由向量.下面讨论的向量一般都指自由向量.二、向量的
