构造法解不等式问题.doc

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1、曲阜师范大学《中学数学杂志》(2007年第7期)构造法在不等式问题中的应用内蒙古包头市第四中学李存保（014030）内蒙古包头市第四中学钟德强（014030）[内容提要]本文介绍了应用构造法解不等式的内容，通过具体的例题说明高考或竞赛试题中不等式问题，引导学生进行积极主动的数学思维活动。[关键词]构造法数学思维应用观察对于解不等式或证明不等式是高中数学中的一类重要题型。它涉及面广以某种载体出现在高考或竞赛试题中。它是学生的难点问题，学生要抓住试题特征，构造目标函数、方程、数列等，就可以成功解决此类问题。笔者给出此类问题的具体实例，以

2、供大家参考。【例1】已知－1＜a+b＜3且2＜a－b＜4，求4a+2b的取值范围.剖析：∵a+b，a－b的范围已知，∴要求4a+2b的取值范围，只需将4a+2b用已知量a+b，a－b表示出来.再仔细观察可以发现一个函数f（x）=ax2+b有f（1）=a+b,，f（-1）=a-b，f（2）=4a+2b解：设f（x）=ax2+b并且引入x，y使4a+2b=x（a+b）+y（a－b），∴解得∴f（2）=3f（1）+f（-1），∴-1＜f（2）＜13.即-1＜4a+2b＜13.评述：解此题常见错误是：－1＜a+b＜3，①2＜a－b＜4.②①

3、+②得1＜2a＜7.∴2＜4a＜14③由②得－4＜b－a＜－2.④①+④得－5＜2b＜1，⑤③+⑤得－3＜4a+2b＜15.【例2】已知a、b、x、y∈R+且＞，x＞y.求证：＞.剖析：观察待证不等式的特征，用比较法或分析法较适合。该例若用构造函数的思想会使学生耳目一新。证法一：令f（x）=，易证f（x）在（0，+∞）上为增函数，从而＞再令g（x）=，易证g（x）在（0，+∞）上单调递减∵＞，a、b∈R+.∴a＜b3曲阜师范大学《中学数学杂志》(2007年第7期)∴g（a）＞g（b），即＞，∴＞证法二：原不等式即为＞为此构造函数f（

4、x）=，x∈（0，+∞）易证f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，而＞∴＞，即＞【例3】已知a＞1，n≥2，n∈N*.求证：－1＜.剖析：对于这个问题看起来较难，其中有变量n，体现抽象性。让学生们在短时间内难以理清头绪。因而解决问题的关键就在于“去掉根式”──把题设条件中的根式转化为某个特定变量来表示，然而再进行运算证明。证法一：要证－1＜，即证a＜（+1）n.令a－1=t＞0，则a=t+1.也就是证t+1＜（1+）n.构造出一个二项式定理（1+a）n的结构∵（1+）n=1+C+…+C（）n＞1+t，即－1＜成立.证法二：设a=xn

5、，x＞1.于是只要证＞x－1，即证＞n.联想到等比数列前n项和构造一个等比数列1，x，…，xn1+x+…+xn－1=①倒序xn－1+xn－2+…+1=.②①+②得2·=（1+xn－1）+（x+xn－2）+…+（xn－1+1）3曲阜师范大学《中学数学杂志》(2007年第7期)＞2+2+…+2＞2n.∴＞n.【例4】.设a+b+c=1，a2+b2+c2=1且a＞b＞c.求证：－＜c＜0.剖析：三个变量间的关系，在条件“a+b+c=1，a2+b2+c2=1且a＞b＞c”的作用下，将不等式的“真面目”隐含了，给证明不等式带来困难，若用c表示

6、a+b和ab，则还原出原不等式的“真面目”，从而抓住实质，解决问题.证明：∵a2+b2+c2=1，∴（a+b）2－2ab+c2=1.∴2ab=（a+b）2+c2－1=（1－c）2+c2－1=2c2－2c.∴ab=c2－c.又∵a+b=1－c，∴a、b是方程x2+（c－1）x+c2－c=0的两个根，且a＞b＞c.构造二次函数令f（x）=x2+（c－1）x+c2－c，则【例5】求证：≤+.剖析：

7、a+b

8、≤

9、a

10、+

11、b

12、，故可先研究f（x）=（x≥0）的单调性.证明：令f（x）=（x≥0），易证f（x）在［0，+∞）上单调递增.

13、a+b

14、

15、≤

16、a

17、+

18、b

19、，∴f（

20、a+b

21、）≤f（

22、a

23、+

24、b

25、），即≤=≤.3