导数法解证不等式构造技巧探析

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1、导数法解证不等式构造技巧探析导数引入新教材，进入新高考，显示了它强大的生命力；教材主要是研究单调性、极值(或最值)、切线三个方面，而高考还出现了研究方程的解、不等式等问题，而且已成为近年来高考热点，本文主要选取近4年高考题中与不等式有关的几道试题予以简要剖析，以此体会导数法解决不等式问题的有效性。一、恒成立问题例1.评注：等价转化问题是顺利解决此类问题的思考方向；构造函数通过研究其单调性来考察其值域(或最值)是有效解决此类问题的关键。备选题1(05辽宁卷22)函数y=/(x)在区间(0,+<-)内可导，导函数fx)是减

2、函数,且广⑴〉0.设x0e(0,+oo)5y=kx+m是曲线y=f(x)在点(兀°J(%))的切线方程，并设函数g(x)=kx+m.(I)用兀o、/*(兀°)、广(兀°)表示m；(II)证明：当%W(0,+8)时,g(兀)二f(X);3-(III)若关于兀的不等式x2+>ax+b>-x3在[0,+oo)上恒成立，其中°、b为实数,求b的取值范围及a与b所满足的关系.解析：(I)m=f(xQ)-xQfr(xQ).(II)令吃)=g(x)-芦(兀)，则丹(兀)=广(兀。)-广⑴”(兀°)=0・因为广(x)递减，所以吐兀)递

3、增,因此,当兀>兀。时”(兀)>0；当兀<兀。时”(兀)<0・所以兀。是/2(兀)唯一的极值点，且是极小值点，也就是最小值。于是h(x)min=h(xo)=g(xo)-f(xo)=O,即h(x)的最小值为0,因此/7(x)>0,HPg(x)>/(x).(III)法1:0ax+b,即兀2-ax+(l-ft)>0对任意xg[0,+oo)成立的充要条件是丄△50即a<2(-by.3-另一方面，由于f(x)=-xi满足前述题设中关于函数y=f(x)的条件

4、，利用(II)的23-结果可知，ax^-b=-x彳的充要条件是：23-过点(0,b)与Illi线y二一兀彳相切的直线的斜率大于a,丄该切线的方程为y=(2b)二x+b.3-丄于是a兀+的充要条件是a>(2b)2.3-综上，不等式兀$+l>«X+/7>-X3对任意XW[0,4-0)成立的充要条件是£_1_(2b)2

5、0是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.x2+>ax+b,即，一ax+(1-b)»0对任意xe[0,+8)成立的充要条件是丄a<2(-by.3

6、=ax+b-—x3,于是ax-^-b>-x3对任意%e[0,+8)成立的充要条件是0(兀)>0.2ill(!)x)=a-x§=O^kjx=a~3.当0a~3时,0’(兀)>0,所以，当x=a~3时，0(兀)収最小值.因此0(Qno成立的充要条件是0(/)no,即6/>(2/7)2.3-综上，不等式/4-1>^+/?>

7、

8、x3对任意"[0,4-00)成立的充要条件是丄(2/»r——，即fx)>0；33227T471

9、当2kn+—

10、即fr(x)<0.3322兀_.2兀)——,2hi+—K33)/2兀_.4兀)——,2刼+—3丿^g(x)=ax-f(x),贝ijg©)二Q_；cos人+=a—+.(2+cosxy2+cosx(2+cosxy+a-~・故当a^-时，g'(x)20.又g(0)=0,所以当x^O时,33g(x)$g(O)=O,即/(x)ax.当a<-时，分以下两种情况构造反例：3因此,(II)/(x)在每一个区间2kn-/(兀)在每一个区间2R7T+<3iY(2+cosx3)是增函数,是减函数.(1)当0

11、-3or,则hx)=cosx-3a.故当xw[0,arccos3d)时，hx)>0.因此力⑴在[0,arccos3tz)上单调增加.故当xg(0,arccos3a)Ht,h(x)>/?(0)=0,即sinx>3ax.于是，当xg(0,arccos3a)时,_、sinxsinx/(x)=>>ax•,+00•3丿2