利用构造函数法求解不等式问题

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1、利用构造函数法求解不等式问题［摘要］构造函数法是一种重要的数学方法.不等式问题是高考中的热点和难点.恰当地构造函数是解决不等式问题的有效途径.［关键词］构造函数法不等式［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］16746058(2016)170056构造函数法是解决不等式问题的有效方法，如何构造函数显得尤为重要.下面举例谈谈构造函数法在解不等式问题中的应用.一、比较函数值大小这类题型主要采用从结论入手来构造函数的方法，即分析结论的结构特点，建立可导的函数f(X)，再利用f(x)的导函数，判断函数的单调性，从而比较出函数值的大小.【

2、例1】若定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(X)，且满足f'(x)>f(X)，则f(2011)与f(2009)e2的大小关系为().A.f(2011)>f(2009)e2B.f(2011)=f(2009)e2C.f(2011)0，...F(x)单调递增，•••F(2011)>F(2009),即e-2011f(2011)〉e_2009f(2009)•••f(2011)〉f(2009)e2,故答案为A.二、求函数不等式的解集对于形如f(x)>g(x)(或f(x)0(或1-f(X)，f(0)=6，f'(x)是f(x)的导函数，求不等式exf(x

3、)>ex+5(其中e为自然对数的底数)的解集.分析：由题意可知，不等式为exf(x)-ex-5>0,构造函数，设g(x)=exf(x)-ex-5,/.gz(x)=exf(x)+exf'(x)~ex=ex[f(x)+f'(x)—1]〉0，.•.函数g(x)在定义域上单调递增.又...g(0)=0，•••g(x)〉0的解集为{x

4、x〉0}.三、求参数的取值范求函数不等式中参数的取值范围是一类重点、热点问题虽然函数不等式问题有多种解法途径，但通过分离参数，可把问题转化为a〉f(x)(或a0时，f(x)=lnx~x+a+l^0,•••aXnx+x-1

5、.构造函数，令g(x)=—lnx+x—1,则g'(X)=-1X+1=x-1X.令g'(x)=0,解得：x=l.•.•当00，...g(x)在［1，+°°)上为增函数，,.g(x)min=g(1)=0，•••a》g(1)=0.•••a的取值范围为［0,+oo).四、证明不等式对于不等式的证明，大部分学生都望而生畏，找不到解决问题的突破口.很多不等式都有函数的背景，如果能挖掘已知函数与不等式的关系，根据所要证明的不等式，恰当地构造函数，利用函数的单调性、最值、有界性等，可以迗到证明不等式的目的.【例4】当x>l时，x—lnxOO，求证：12x2+

6、ax~a^xlnx+12.证明：原不等式可化为12x2+ax~xlnx~a-12^0(x^l,a^O).构造函数，令G(x)=12x2+ax-xlnx~a-12,则Gz(x)=x+a-lnx-l且G(1)=0.由题意可知，当x>l时，x-lnx-1^0,则G'(x)=x+a-lnx-l^x-lnx-1^0,...G(x)在［1，+°°)上单调递增，•••G(x)彡G(1)二0，.•.12x2+ax_xlnx—a-12X)，故原不等式成3L.可以看出，对于不等式的问题，我们可以通过构造恰当的函数，使问题迎刃而解.其关键是如何构造函数；构造什么样

7、的函数.这就要求我们结合函数的性质和特点，发展思维，反复总结、提炼构造规律.比如，对于左右两边结构相同(或者可化为左右两边结构相同)的不等式，构造函数f(x)，使原不等式成为形如f(a)〉f(b)的形式；对于形如f(x)〉g(x)的不等式，构造函数F(x)=f(x)-g(x);等等.(责任编辑钟伟芳)