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时间:2020-10-19
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1、高考总复习五-----直线与圆综合一、疑难知识点导析:1、定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(1,1),B(2,2),P(,)之间数量关系的一个公式,其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的,一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以A为起点,B为终点,P为分点,则定比分点公式是,当P点为AB的中点时,λ=1,此时中点坐标公式是.2、3、确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式,要知道两种形式之间的相互转化及相互联系(1)圆的标准方程:,其中(,b)是圆心坐标,是圆的半径;(2)圆的一般方程:(>0)
2、,圆心坐标为(-,-),半径为=.4、二、基本方法引导 1.直线与圆的位置关系的判定方法.(1)方法一 直线:;圆:.一元二次方程(2)方法二 直线:;圆:,圆心(,b)到直线的距离为d=2、点与圆的关系的判断方法:(1)>,点在圆外(2)=,点在圆上(3)<,点在圆内3、两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O1、O2,半径分别为1,2,
3、O1O2
4、为圆心距,则两圆位置关系如下:
5、O1O2
6、>1+2两圆外离;
7、O1O2
8、=1+2两圆外切;
9、1-2
10、<
11、O1O2
12、<1+2两圆相交;
13、O1O2
14、=
15、1-2
16、两圆内切;0<
17、O1O2
18、<
19、1-2
20、两圆内含.三、例题选讲 直线
21、相关(一)、斜率与含参线性规划问题;例1.若满足约束条件,目标函数仅在点(1,0)处取得最小值,则的取值范围是()ABCD解析:当目标函数的斜率非负时,需满足,解得;当目标函数的斜率为负时,需要满足解得.综上,练习、已知平面区域D由以A(1,3)、B(5,2)、C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成。若在区域D内有无穷多个点可使目标函数取得最小值,则()A.B.C.1D.4解析:由A(1,3)、B(5,2)、C(3,1)的坐标画右上图(1)若,,只有一个点为最小值,不合题意;(2)若,目标函数的斜率为,当目标函数与直线AC重合时有无穷多个点可使目标函数取得最小值,故;同时
22、当目标函数与直线AB重合时有无穷多个点可使目标函数取得最大值.与题意矛盾,舍去.(3)若,目标函数的斜率为,当目标函数与直线BC重合时有无穷多个点可使目标函数取得最大值.与题意矛盾,舍.综上可知,.(二)、对称的一般原理和特殊情况()例1.求直线:关于直线l:对称的直线的方程.解析:联立直线和直线l解得交点E,E点也在上.方法一:在直线:上找一点A(2,0),设点A关于直线l:的对称点B的坐标为(x0,y0),解得B.由两点式得直线b的方程为,即方法二:设直线b上的动点P关于:的对称点Q,则有解得Q(x0,y0)在直线:上,则,化简得.点评:方法二即著名的设而不求。练习1、
23、曲线C:关于直线对称的曲线的方程________解析:如果关于对称的直线的斜率是,则可以直接用结论.以本题为例,点评:凡是关于对称的直线斜率为,直接代入即可.证明很简单,略.练习2、已知圆C与圆关于直线对称,则圆C的方程为()2.B.C.D.解析:由得到选C例2.已知点M,在直线:和y轴上各找一点P和Q,使△MPQ的周长最小.解析:可求得点M关于的对称点M1,同样容易求得点M关于y轴的对称点M2.由M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为令,得到M1M2与轴的交点Q解方程组得交点P故点P、Q即为所求.(三)直线系问题:过两交点的直线系;平行直线系;垂直直线系.设直线,,经过
24、的交点的直线方程为(除去);注意:可以推广到过曲线与的交点的方程为:。例2、求过直线:与直线:的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.解析:设所求直线方程为:,当直线过原点时,则=0,则=-1,此时所求直线方程为:;当所求直线不过原点时,令=0,解得=,令=0,解得=,由题意得,=,解得,此时,所求直线方程为:.综上所述,所求直线方程为:或.例2、已知圆C:及直线求证:无论为任何实数,直线恒与圆C相交。证明:由易证直线过定点M,且,即点M在圆C内,点M又在直线上,故不论为任何实数,直线与圆C相交。练习、求证:无论为何值,直线与点P的距离都小于4证明:将直线方程按参数整理得,
25、易得直线恒过定点M,求得
26、PM
27、,所以.而过点M且垂直PM的直线方程为又无论为何值,题设直线系方程都不可能表示直线圆相关(一)圆的方程例1、求与轴相切,圆心在直线上,且被直线截得的弦长等于的圆的方程。解析:因圆心在直线上,故可设圆心为.又圆与轴相切,,此时可设圆方程为又圆被直线截得的弦长为。考虑由圆半径、半弦、弦心距组成的直角三角形,弦心距,解得当时,,圆方程为当时,,圆方程为练习1、求经过两已知圆和的交点,且圆心在直线:上的圆的方程。解析:设所求圆的方程为:即,圆心为C又C在直线上,,解得,代入所设圆的方程得练习
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