直线与圆的方程复习讲义

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1、直线与圆的方程复习讲义一．直线与方程考点1．直线的倾斜角2．斜率公式3．直线方程的五种形式4．两条直线的位置关系5．几种距离6.直线系方程二．圆与方程考点1．圆的定义2．圆的标准方程3．圆的一般方程4．确定圆的方程的方法和步骤5．点与圆的位置关系6．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法7．圆与圆的位置关系三．直线与方程考法题型一　直线的倾斜角与斜率例1　经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________，________.思维点拨　注意

2、倾斜角是锐角还是钝角．答案　[－1,1]　[0，]∪[，π)解析　如图所示，结合图形：为使l与线段AB总有公共点，则kPA≤k≤kPB，而kPB>0，kPA<0，故k<0时，倾斜角α为钝角，k＝0时，α＝0，k>0时，α为锐角．又kPA＝＝－1，kPB＝＝1，∴－1≤k≤1.又当0≤k≤1时，0≤α≤；当－1≤k<0时，≤α<π.故倾斜角α的取值范围为α∈[0，]∪[，π)．思维升华　直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈时，

3、斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．　(1)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(　　)A.B．－C．－D.(2)直线xcosα＋y＋2＝0的倾斜角的范围是(　　)A.∪B.∪C.D.答案　(1)B　(2)B解析　(1)依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有，解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为＝－.(2)由xcosα＋y＋2＝0得直线斜率k＝－cosα.∵－1≤cosα≤1，∴－≤k≤.设直线的倾斜角为θ，则－≤

4、tanθ≤.结合正切函数在∪上的图象可知，0≤θ≤或≤θ<π.题型二　求直线的方程例2　根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解　(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sinα＝(0<α<π)，从而cosα＝±，则k＝tanα＝±.故所求直线方程为y＝±(x＋4)．即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为＋＝1，又直线过点(－3

5、,4)，从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.由点线距离公式，得＝5，解得k＝.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.思维升华　在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能

6、表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．　已知点A(3,4)，求满足下列条件的直线方程：(1)经过点A且在两坐标轴上截距相等；(2)经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．解　(1)设直线在x，y轴上的截距均为a.①若a＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)．∴直线的方程为y＝x，即4x－3y＝0.②若a≠0，设所求直线的方程为＋＝1，又点(3,4)在直线上，∴＋＝1，∴a＝7.∴直线的方程为x＋y－7＝0.综合①②可知所求直线的方程

7、为4x－3y＝0或x＋y－7＝0.(2)由题意可知，所求直线的斜率为±1.又过点(3,4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.题型三　直线方程的综合应用例3　已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．思维点拨　先设出AB所在的直线方程，再求出A，B两点的坐标，表示出△ABO的面积，然后利用相关的数学知识求最值．解　方法一　设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，点P(3,2)代入得＋＝1≥2，得ab≥24，

8、从而S△AOB＝ab≥12，当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－，从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.方法二　依题意知，直线l的斜率k存在且k<0.则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)，且有A，B(0,2－3k)，∴S△ABO＝(2－