运筹学--对策论.ppt

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1、第十四章对策论对策论概论对策论（TheGameTheory)也称竞赛论或博弈论，是研究具有竞争、对抗、利益分配等方面的数量化方法，并提供寻求最优策略的途径。20世纪40年代形成并发展。1944年以来，对策论在投资分析、价格制定、费用分摊、财政转移支付、投标与拍卖、对抗与追踪、国际冲突、双边贸易谈判、劳资关系以及动物行为进化等领域得到广泛应用。14-1矩阵对策的基本概念案例：俾斯麦海的海空对抗1943年2月，第二次世界大战中的日本，在太平洋战区已经处于劣势。为扭转局势，日本统帅山本五十六大将统率下的一支舰队策划了一次军事行动：由集结地——南太平

2、洋的新不列颠群岛的蜡包尔出发，穿过俾斯麦海，开往新几内亚的莱城，支援困守在那里的日军。当盟军获悉此情报后，盟军统帅麦克阿梭命令太平洋战区空军司令肯尼将军组织空中打击。日本统帅山本五十六大将心里很明白：在日本舰队穿过俾斯麦海的三天航行中，不可能躲开盟军的空中打击，他要策划的是尽可能减少损失。日美双方的指挥官及参谋人员都进行了冷静的思考与全面的谋划。自然条件对于双方都是已知的。基本情况如下：从蜡包尔出发开往莱城的海上航线有南北两条。通过时间均为3天。气象预报表明：未来3天中，北线阴雨，能见度差；而南线天气晴好，能见度好。肯尼将军的轰炸机布置在南线

3、的机场，侦察机全天候进行侦察，但有一定的搜索半径。经测算，双方均可得到如下估计：局势1：盟军的侦察机重点搜索北线，日本舰队也恰好走北线。由于气候恶劣，能见度差，盟军只能实施两天的轰炸。局势2：盟军的侦察机重点搜索北线，日本舰队走南线。由于发现晚，尽管盟军的轰炸机群在南线，但有效轰炸也只有两天。局势3：盟军的侦察机重点搜索南线，而日本舰队走北线。由于发现晚、盟军的轰炸机群在南线，以及北线气候恶劣，故有效轰炸只有一天。局势4：盟军的侦察机重点搜索南线，日本舰队也恰好走南线。此时日本舰队迅速被发现，盟军的轰炸机群所需航程很短，加上天气晴好，有效轰炸

4、时间三天。这场海空遭遇与对抗一定会发生，双方的统帅如何决策呢？历史的实际情况是：局势1成为现实。肯尼将军命令盟军的侦察机重点搜索北线；而山本五十六大将命令日本舰队取道北线航行。由于气候恶劣，能见度差，盟军飞机在一天后发现了日本舰队，基地在南线的盟军轰炸机群远程航行，实施了两天的有效轰炸，重创了日本舰队，但未能全歼。对策的三要素：局中人：有权决定自己行为方案的对局参加者称为局中人。案例中，美日双方的决策者为局中人。当对局中局中人只有两人时，称为二人对策。策略：对局中一个实际可行的方案称为一个策略。案例中，美日双方各有二个策略。赢得矩阵（支付）：

5、当每个局中人在确定了所采取的策略后，他们就会获得相应的收益或损失，此收益或损失的值称为赢得（支付）。赢得与策略之间的对应关系称为赢得（支付）函数。案例中，肯尼将军与山本五十六大将的赢得（支付）函数都可以用矩阵A、B表示。（日军）北线南线（盟军）北线22=A南线13（盟军）北线南线（日军）北线-2-2=B南线-1-3在本例中的每一个对局，双方的赢得的代数之和为零，这样的对策称为“有限零和二人对策”设两个局中人为I，II，局中人I有m个策略：1、2…m；用S1表示这些策略的集合：S1=1、2……m同样，局中人II有n个策略：1、2

6、。。。n；用S2表示这些策略的集合：S2=1、2…n局中人I的赢得矩阵是：a11a12……a1na21a22……a2nA=………………am1am2…amn局中人II的赢得矩阵是-A把一个对策记为G：G=S1，S2；A北线1南线2（盟军）北线122=A南线213在矩阵中，盟军的最大赢得是3，而要得到3，必须选择策略2，而日军的目的是使盟军的赢得尽量的小，必须选择策略1，使盟军的赢得只有1。在局中人I设法使自己的赢得尽可能大的同时，局中人II也设法使局中人I的赢得尽可能小。所以局中人I应首先考虑用所能赢得的最小，然后在这些最

7、小赢得中选择最大。局中人I可以保证赢得maxminaijij同样，局中人II可以保证局中人I的赢得不超过minmaxaijji案例中局中人I（盟军）应当选择（北线）策略1，这样能保证赢得2。局中人II（日军）应当选择（北线）策略1使盟军赢得不超过2。实际上，在（1，1）局势下，有maxminaij=minmaxaijijji上式蕴涵的思想是朴素自然的，可以概括为：“从最坏处着想，去争取最好的结果”定义14-1：对给定的矩阵对策G=S1，S2；A若等式maxminaij=minmaxaijijji成立，则称这个公共值为对策G的值，记为V

8、G，而达到的局势（i，j）称为对策G在纯策略意义下的解，记为（i*，j*）而i*和j*分别称为局中人I和局中人II的最优纯策略。定理14-1：矩阵对策G