高三数学教案：圆锥曲线1.docx

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1、概念与数学思想方法在圆锥曲线中的运用河北望都中学汤敏军学习圆锥曲线时首先要掌握好三种圆锥曲线的各自定义及它们的统一定义，这是学好这部分内容的前提和关键。其次要结合各种数学思想，如数形结合、分类讨论、函数和方程及极限等数学思想和方法来剖析和解决问题。本文将结合数学中的各种思想方法对三种圆锥曲线各自定义及统一定义做一综合运用。例1如图:在⊿ABC中,BC=12,其它两边AB和AC上中线长的和为30.(1)求⊿ABC的重心G的轨迹方程.(2)求顶点A的轨迹方程.分析:（1）设AB的中点为E,AC的中点为D,连结

2、BD、CE与AO的交点，即为⊿ABC的重心G，设其坐标为（x，y）。由已知有

3、CE

4、+

5、BD

6、=30，如何沟通与重心G的坐标的关系呢？yADEGCOBx联想到重心的性质：重心将中线分成2：1的关系，则有3

7、BG

8、+3

9、CG

10、=30，即

11、BG

12、+

13、CG

14、=2022

15、BC

16、=12。这样动点G满足到两定点B、C的距离和为定值20

17、BC

18、=12，故点G的轨迹为：以动点B、C为焦点的椭圆，其方程为x2y21001(y0)。64注：要注意轨迹的纯粹性与完备性的检验，这是学生易忽视的地方。（2）利用相关点法（或称代入

19、法）：设A(x,y)则G(x,y)，代入重心G的轨迹方程，易求得点A的轨迹方程为x2y2133900576(y0)。例2若以圆锥曲线的一条经过焦点的弦为直径的圆与对应的准线无公共点,则此圆锥曲线为().A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.椭圆或双曲线分析：如图F为圆锥曲线的一个焦点，对应准线为l，AB为过焦点F的弦，M为弦AB的中点，A、M、B在上的射影分别为G、N、H。设此圆锥曲线的离心率为e，由圆锥曲线的统一定义：可得

20、AF

21、=e

22、AG

23、，

24、BF

25、=e

26、BH

27、，故

28、AB

29、=e（

30、AG

31、+

32、BH

33、）=2e

34、

35、MN

36、，故e=

37、AB

38、。2

39、MN

40、由于以AB为直径的圆与准线l相离，因此e=

41、AB

42、1。2

43、MN

44、故答案选B。第-1-页共3页例3设椭圆x2y21的离心率e3,已知点3)到椭圆上的点的最远距离是7,则短a2b22P(0,24半轴之长b等于().A.11C.1D.116B.428解：由c3a2b2322ea2,得a24，有a4b.故椭圆的方程为x2y21,即x24y24b2.4b2b2设椭圆上的任意一点M(x,y)到点P的距离为d,则d2x2(y3)23(y1)24b23其中y[b,b]221)若b1,即b

45、1时,则y1时,(d2)min4b23(7)2,解得b1与b1矛222482盾.2)若b1,即b1时,则yb时,(d2)minb23b9(7)2,解得b11.故224442答案选C.评析:本题中主要运用了分类讨论与函数的思想.不要想当然由数形结合认为一定是短轴的下端点距离点P最远.例如将7改为7同学们可做一个变式训练会发现这种认识是错误的.4做此题也有用构造圆x2(y3)2(7)2的方法,使此圆与椭圆相切,但要注意这种方法有一24定的缺陷性.例4实轴为A1A2的双曲线x2y21上有动点P(与A、A不重合)

46、.a2b212直线A1P、A2P分别交右准线于M、N两点，F是双曲线的右焦点，则MFN等于（）A.45oB.60oC.90oD.120o分析:MFN的大小应与双曲线的形状及点P的位置无关。处理此问题时可利用特殊化的方法，使双曲线的方程及点P的坐标均特殊、具体，但是我们发现即使这样处理也很麻烦。不妨让点P沿双曲线从上方向A2趋近，此时M点沿右准线向Q点无限接近，N点沿右准线向下向无穷远处运动，显然此时MFN=90o，故选C。这是一种极限的思想方法，也是估算法的一种体现及运用。第-2-页共3页例5已知双曲线x

47、2y21(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,若以F2为顶点,F1为a2b2焦点的抛物线与双曲线右支相交于点P,且

48、PF2

49、e

50、PF1

51、8a,则双曲线的离心率e为（）.A.3B.3C.2D.6分析：如何挖掘题目中给出的已知条件

52、PF2

53、e

54、PF1

55、8a是解决此问题的关键。由8a

56、PF2

57、e

58、PF1

59、e(

60、PF2

61、

62、PF1

63、)e(xpa23cxp)3c2a,eca化简并整理得c23a2,即ec3。故答案选Aa

64、PF2

65、如图，我们看到已知条件

66、PF2

67、e

68、PF1

69、8a的左边提出e后，得到

70、，目e

71、PF1

72、的是要充分的利用双曲线的第二定义以及抛物线的定义。将到定点的距离

73、PF1

74、、

75、PF2

76、分别转化到定直线l1：xa2

77、PQ

78、及

79、PS

80、，（双曲线的右准线）、l2：x=3c（抛物线的准线）的距离c进而与点P的横坐标建立联系，得到一个关于a与c的齐次方程，从而求得离心率e。跟踪练习:1.动圆与定圆x2y24y320相内切且过定圆内一个定点(0,2),求动圆圆心P的轨迹方程.2．实轴为A1A2x2y21上有动点P(与A、A不重合).直