高三数学教案：圆锥曲线的应用.docx

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1、第六节圆锥曲线的应用一、基本知识概要：解析几何在日常生活中应用广泛，如何把实际问题转化为数学问题是解决应用题的关键，而建立数学模型是实现应用问题向数学问题转化的常用常用方法。本节主要通过圆锥曲线在实际问题中的应用，说明数学建模的方法，理解函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想。二、例题：例1、设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离地球相距m万千米和4m万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角3分别为和，求该慧星与地球的最近距离。23解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点x2y2

2、F(c,0)处，椭圆的方程为2b21a（图见教材P132页例1）。当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为时，由椭圆的几何意义可知，彗星A只31FA2m能满足xFA(或xFA/)。作ABOx于B，则FB3323mca2(c)故由椭圆第二定义可知得ac4ca223m(cm)ac3两式相减得1mc2m,a2c.代入第一式得m1(4cc)3c,3a322c2ac2m.cm.332m万千米。答：彗星与地球的最近距离为3说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个

3、则是远地点，这两点到恒星的距离一个是ac，另一个是ac.（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。思考讨论:椭圆上任一点到焦点的距离的最大值和最小值是多少？怎样证明？例2：A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6Km，C在B正北偏西30，相距4Km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A距P地远，因此4s后，B，C才同时发现这一信号，此信号的

4、传播速度为1Km/s，A若炮击P地，求炮击的方位角。（图见优化设计教师用书P249例2）解：如图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立坐标系，则第1页共2页B(3,0),A(3,0),C(5,23)，因为PBPC，所以点P在线段BC的垂直平分线上。因为kBC3，中点D(4,3)，所以直线PD的方程为y31(x4)（）BC31又PBPA4,故P在以A，B为焦点的双曲线右支上。设P(x,y)，则双曲线方程为x2y20)（2）。联立（1）（2），得x8,y53，41(x5533，故炮击的方位角北偏东30。所以P(8,53).因

5、此kPA38说明：本题的关键是确定P点的位置，另外还要求学生掌握方位角的基本概念。例3：根据我国汽车制造的现实情况，一般卡车高3m，宽1.6m。现要设计横断面为抛物线型的双向二车道的公路隧道，为保障双向行驶安全，交通管理规定汽车进入隧道后必须保持中线0.4m的距离行驶。已知拱口AB宽恰好是拱高OC的4倍，若拱宽为am，求能使卡车安全通过的a的最小整数值。（图见教材P133页例3）解：如图，以拱口AB所在直线为x轴，以拱高OC所在直线为y轴建立直角坐标系，由题意可得抛物线的方程为x22p(ya)，4点A(a,0)在抛物线上，(a)

6、22p(0a),得pa2242抛物线方程为x2a(ya)。取x1.60.42,代入抛物线方程，得422a(ya),ya216。由题意，令y3,得a216344a4aa0,a212a160.a6213.又aZ,a应取14，15，16，。答：满足本题条件卡车使安全通过的a的最小正整数为14m.说明：本题的解题过程可归纳务两歩：一是根据实际问题的意义，确定解题途径，得到距拱口中点2m处y的值；二是由y3通过解不等式，结合问题的实际意义和要求得到a的值，值得注意的是这种思路在与最佳方案有关的应用题中是常用的。三、小结：第2页共2页